Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

В § 1 была построена разностная схема, аппроксимирующая последнее уравнение с погрешностью 0(/i):

-д у -й--(, :, )=о (5)

(с несколько иными обозначениями). Уравнение (1) записывается в рассматриваемом виде при q{x) = р{х) + \р{х). Отсюда получаем сеточную задачу па собственные значения:

- (Рп + Хр )у - ё-\{р + Хрп)у ) = 0. п = 1,..., N -I, Уо=Уы ~ 0.

Можно показать, что для собственных значений этой задачи выполняется оценка

\Xt - А cXi,h\

Система уравнений (6) имеет вид Ау - ХВу = О, фор.мально несколько более сложный, чем (2), носкшьку матрица В не диагональная.

При повышении порядка точности могут возникать сеточные задачи, имеюш,ие на первый взгляд еш;е более сложный вид, например такая: требуется найти Л, при котором система соотношений

ап(А, Ъ)уп-1 - Дп(А, Н)уп + 7п(А, /г)Уп+1 = О,

п = 1,..., Л - 1, Уо = VN = о,

имеет ненулевое решение уп-

Рассмотрим случай 7, ф 0. Фиксируем некоторое w\ ф О, например w\ - h; зададимся произвольным А и из сотношения

п(А, h}w,, - А,(А, h)w, + 7 (А, /г) ;+1 = О (8)

последовательно определим w, - , w. Если = 0, то это А окажется собственным значением и и; - собственной функцией; если ф О, то это А не является собственным значением задачи (7).

Для отыскания собственных значений задачи (7), совпадающих с нулями w, можно применить какой-либо итерационный метод отыскания нулей функции и по ее значениям. Этот процесс облегчается следующим обстоятельством, имеющим место во многих случаях и позволяющим получить вилку для искомого корня: если функция имеет j перемен знака на (О, X), то Aj < А < Aj+i. Для вычисления значений w\ при различных А, как правило, наиболее рационально воспользоваться непосредственно рекуррентными формулами (8).

Предлагаемый алгоритм вычисления значений совпадает с алгоритмом решения сеточной задачи Коши для уравнения у {х) - (р{х) + Хр{х))у(х).

§ 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов

Часто бывает естественно и целесообразно строить численные методы, исходя из естественной постановки задачи как вариационной или пользуясь определением решения как некоторой с1)ункции, удовлетворяющей интегральному тождеству.

1. Метод Ритца. Рассмотрим краевую задачу из § 8: Ly = -~{к{х)у(х)У+р(х)у{-х) = fix), у(0) = ы, гу{Х) = L к ко > 0.

Ее решение является точкой экстремума функционала

Ну) = Г iHyix)) + руЧ-) - У{х)у{х)) dx (2)

на классе функций 12(0, X], удовлетворяющих условию у(0) = а, у{Х) = Ъ. Напомним, что Ш2,Х]~эт:о класс функций с ограниченным интегралом

Iiy) = j\bj{)?+y\)]dx = \\у\?щуо,ху

Задаются некоторым N и выбирают совокупность функций ср{х),..-, ip%{x) с ограгшченным интегралом / (v?), удовлетворяющих условиям

Р{0)=ср{Х)=0, g=l,...,N.

Для отыскания собственных значений может применяться также и метод прогонки. Не повторяя идеи метода, ограничимся написанием расчетных формул. Положим Wn/wi = Са, тогда (8) перепишется в виде

(XnCn-lCn - РпСп + In = О, (9)

откуда

Сп = 7п/(А,-<> C v). (10)

Если и; и in+i одного знака, то Сп > О, eain разного, то Сц < 0. Поэтому, наблюдая за переменами знака у С , можно определить число перемен знака у с1)ункции w. Как мы видели в § 3, коэффициент С может оказываться очень большим, поэтому этот метод чаще применяется лишь Д.Т1Я отыскания первого собственного значения.

Приближенное решение ищется в виде

y = vo+f;cv,<. i=i

Имеем

p,q=l 17=1

здесь

= Г (/< - mf - )) dx.

Находим экстремум функционала Цу) по переменным ci,...,CjY и со-

ответствующую функцию у = tp +Е9 принимаем за приближенное

решение задачи. При этом нахождение коэффициентов с сведется к решению системы линейных алгебраиюских уравнений

Ас = Ь, (3)

где Л -матрица с элементами Прд = {Рр , yq), b -вектор с компонентами bfj.

Часто бывает удобнее сразу вычесть из решения функцию (р , удовлетворяющую граничным условиям, т.е. свести исходную задачу к задаче с однородными граничными условиями. В линейном случае (как (1)) обычно (р берут пе зависящим от ISI. Часто бывает выполнено следующее условие. Краевая задача

Ly + Ху = О, у(0) = у{Х) = О

имеет только нулевое решение, если А 0. Тогда функционал 1{у) ограничен снизу и искомое решение является не просто точкой экстремума, а точкой минимума функционала 1{у). В этом случае описанный выше метод построения приближенного решения называют .м,етодом Ритца. Существует ряд моментов, существенно влияющих на сходимость метода Ритца.

Чтобы приближенные решения у сходились к точному в норме W2[0, X], т.е. чтобы \\у - y\\w. О при N -+ оо, необходимо и достаточно выполнения следующего условия: для любой функции д G W2 и любого е > О существует линейная комбинация

§N = 0+1 чя Илг - 9\\w.}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [157] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208