|
| |
|
Слаботочка Книги Указанное условие обеспечивает сходимость метода Ритца в предположении, что все вычисления производятся точно. Пусть A/v и А - наименьшее и наибольшее по модулю собственные значения матрицы системы уравнений (3). Чтобы округления не повлияли на приближения суш;ественно выполнение условия A/A/v М, (4) где М не зависит от N. Довольно часто не удается построить системы функций, удовлетворя-юпще условию (4). Тогда ограничиваются использованием систем функций, для которых А/Ая = 0(iV ), (5) где - не очень большое число. В случаях (4), (5), как правило, удается так организовать процесс решения системы (3), что суммарная выхисли-тельпая погрешность будет порядка 0(N6). В ряде случаев нетрудно построить системы функций, удовлетворяющие условию (4), но, как правило, для них матрица А является полностью заполненной. Для задачи (1) такой системой является fq (х) = вт{7гдх/Х), q = 1,..., N. В то же время для системы функций, соответствующих вариационно-разностному методу (см. далее), а = fJ = 2, но зато матрица А трехдиа-гональная. Для системы функций ipq{x) = х{\ - х) величина А7А растет быстрее любой степени N и матрица заполненная. Если вместо системы функций (р (ж) = ж(1 - х) взять систему V{x) = x{l-x)Tq{2xlX-l), (6) где Tq{x) многочлены Чебышева, то при отсутствии округлений получится одно и то же приближение. В то же время система (6) удовлетворяет ус7ювию (5) и при практическом использовании накопление погрешности будет не очень большим. Замечание. Может случиться, что для некоторого набора функций величина I\n\ растет с ростом N очень быстро, но для достижения нужной точности достаточно небольшого значения N\ тогда такой набор функций приемлем при решении данной задачи. 2. Метод Бубнова-Галеркина. Описываемый ниже метод является обобщением метода Ритца и применим в случаях, когда исходная задача не является вариационной. Формально этот метод можно представить следуюшим образом. Запишем исходную задачу в виде задачи нахождения решения из некоторого интегрального соотношения, справедливого для любой функции -ф из соответствуюшего класса: (Ly,) = (/,). (7) О X О x,.ix, XgiX О ф;1[) фГМ фД) Рис. 9.10.1 Зададимся точками 0 = xo<xi<---<X]\f - X и будем отыскивать приближенное решение (1) в виде функции, линейной на каждом из от- Под выражением в круглых скобках понимаем скалярное произведение в Ь2[0, X]. Соотногпение (7) в дальнейшем будем называть интегральным тождеством. Приближенное решение ищется в виде линейной комбинации Задаются некоторой линейно независимой системой функций чр,..., и требуют выполнения интегральных соотношений (Ly, = q=l,...,N. (8) Так же как и в случае метода Ритца, решение исходной задачи сводится к решению системы линейных уравнений (8) относительно неизвестных Ci,..., с; в матричной форме система уравнений (8) записывается в виде Ас = d, где А = [aij] ~ матрица размерности N х N, с = {ci ,..., с), d - вектор правой части. Оба описанных метода применимы в нелинейном случае. Ес7ш исходная задача является задачей на экстремум функционала, не являющегося, как (2), квадратичным, то система уравнений (3) относительно С],..., cjy, соответствующих точке экстремума 1{у), будет нелинейной. Точно так же в случае нелинейного уравнения L(y) = О метод Бубнова-Галеркина сводится к решению нелинейной системы (Z(y),O = 0, q=l,...,N. 3. Вариационно-разностный вариант метода Ритца. Носителем N{f) функции / назовем замыкание множества точек, где f ф 0. Если носители функций (р и yj* пересекаются по мере пуль, то = {ipf, iPj) = 0. Наличие большого числа нулевых элементов в матрице может привести к существенному уменьшению объема вычислений при решении системы (3). Это обстоятельство явилось стимулом к разработке вариационно-разностных методов, соединяющих в себе преимущества метода Ритца и конечно-разностных методов. резков Хд] и принимающей заданные значения на концах отрезка [О, X]. Это равносильно тому, что решение ищется в виде </=1 ф{х) = ар{х)+Ьр{х), ( XI - X при о ж Ж], о при Ж1 ж Xpf, о при О ж при Жлг~1 ж < Жлг, при Жд 1 < ж Жд, при Жд ж X(jl, в остальных точках ж - ЖлГ-1 X ~ Жд 1 Жц Жд 1 Хд+1 - Хд при 5 = 1,..., Л/ - 1 (см. рис. 9.10.1). Система уравнений (3) д1{ум)/дуд = 0, у = 1,..., iV - 1, (10) из которой определяются значения yi,..., у n-i , в данном случае оказывается системой с трехдиагональной матрицей. Укажем конкретный вид коэффициентов системы, получающейся в случае функций ip вида (10): Г ( Ч) , ч (ж-ж 1)2 \ , 9,9+1 9-1-1,9 = ч,д+ь 9 = 2,..., А-2, 9= г /(ж)-5-йж-Ь rf{x)3±l--l.dx-Pg, JXq-l Хд Хд-1 J Xqjl Хд 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [158] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |