|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 / / / * 1 ./о V 1 -г! Ч ) О, 1<д<ЛГ-1, Ъ / р{х)-------Г2 dx, q = N-l. JxNlK XN-XN~1 XN-XN-l {XbJ-XN~lYJ 4. Вариационно-разностный вариант метода Бубнова-Галеркина. Если умножим (1) на произвольную функцию ф{х) ([0. X]) и проинтегрируем первое слагаемое в выражении riL{y)~fix)y,Hx)dx (12) по частям, то получим интегральное тождество Л(у, ф) = / {к(х)уф + руф - /ф) dx = 0. (13) Будем искать решение yiy в виде (9): потребуем, чтобхл (13) обраш;алось в нуль для всех функций ф{х;) вида Ф{х) = Ewf И, 5 - произвольные числа. Поскольку выражение Л(у, ф) линейно по ф, то получаем систему уравнений A(yw, Фд) = 0, q=l,...,N~ 1. (14) В данном случае эта система уравнений совпадает с (3). Можно было не производить в (12) интегрирования по частям, а непосредственно потребовать удовлетворения (12) для любой функции вида (9). Однако для функций вида (9) выражение (12) содержит слагаемые типа й-функции, поэтому непосредственное выписывание уравнений системы (14) представляло бы дополнительные технические трудности. Описанный выше метод решения задачи, называемый проекционно-разност-ным, применим и к задачам более общего вида. Рассмотрим краевую задачу (к{х)уУ + ау + (by) + cy = f + F, (15) уже не являю1цуюся задачей на экстремум некоторого функционала. Умножим (15) скалярно на ф ePPj [Oi -1 и проинтегрируем некоторые из слагаемых по частям; получим Ai (у, Ф) = / (куф - ауф + Ьуф - суф + /ф - Рф) dx = 0. Jo к (ж) dx /,: [ {xq-Xg-i), xq-l \ / p{x){Xg-x){x-Xql)dxp -g 2 J (хд х){х - Хдi) dx = xq-l \ / jxq-l , Хд-1 + Хд\ (Xg-Xg-if (17) pix){x-xg-,fdxp(~y\x-xgifdx = f{x){x-Xgl)dxf Xg-l+Xg\ {Xy-Xg-lY jxq-1 Bo всех случаях был применен способ вычисления интегралов, при котором подынтегральная функщга разлагалась на множители и интеграл от наиболее резко меняющейся функции брался в явном виде. Можно показать, что полученная схема обеспечивает второй порядок точности. Можно предложить способ построения вариационно-разностных схем более высокого порядка точности; рассмотренный выше способ построения схемы является частным случаем (при m = 1) этого способа. Приближение ум{х) ищется в виде многочлена Р{х) степени гп на каждом из отрезков [xg-i, Хд], причем значения многочленов, соответствующих отрезкам [Xg-i, Xq] и [хд, Xg+i], совпадают в точке Хд. Минимизируя функционал /(улг) на множестве таких многочленов, удовлетворяющих граничным условиям в (1), получим систему с клеточно-трехдиагональной матрицей относительно коэффициентов этих многочленов. Иногда удобнее рассматривать как неизвестные не эти коэффициенты, а некоторые другие параметры. Например, можно аналогично случаю приближения сплайнами (§ 4.8) при m = 3 принять за неизвестные значения VNiXg), ум{Хд+о), ук{Хд-0)- Приближение ?yjv вида (9) находим из системы уравнений Ai(2/jv,-О, (/= 1,..., iV-1. (1С) Заметим, что интегрирование по частям интехрала от {Ьу)}р является необходимым лишь в случае разрывного коэффициента Ь. Описанные выше методы формально представляют некоторые неудобства, поскольку для построения систедш! уравнений (16) требуется вычисление некоторых интегралов. Если коэсзфициепты гладкие, то эти интегралы можно вычислить с помощью квад1)атурных формул: {Хд - Xgl) - (18) 9=1 \ / ~ + /(9-i)y9-i)(a-V - xg-i); здесь Хд у2 = {хд + Xg-i)/2. Первая сумма получилась на основе квадратурной формулы прямоугольников, вторая и третья - формулы трапеций. Приравнивая нулю Можно на каждом из отрезков [xg-i, Хд] взять т - 1 дополнительную точку и принять за неизвестные значения ум{х) в этих точках. Вариационно-разностные методы в определенном смысле техно.7югич-нее разностных. В случае построения вариационно-разностных методов путем минимизации квадратичного функционала возникает система уравнений с положительно определенной матрицей, что обеспечивает определенную физичпость получаемых приближений и одновременно облегчает решение системы. Переьгенность шага интегрирования также не оказывает существенного влияния на сложность программ вариационно-разностных методов. Эти преимущества наиболее эффективно проявляются при решении многомерных задач в областях со сложной геометрией. При одном и том же порядке точности использование вариационно-разностных схем часто требует меньшею объема програмьшровапия. Все это послужило причиной того, 1то 01Ш взяты за основу, например, при создании пакетов численных методов решения задач теории упругости. В то же время при решении очень сложных задач, в которых для получения нужной точности требуется число узлов сетки, находящееся на пределе возможностей ЭВМ, часто бывает целесообразно обратиться к сеточным методам. Заметим, что вариационно-разностпые и проекционпо-разностные методы называют также методами конечных элементов. 5. Построение разностных схем путем аппроксимации функционала. При непосредственном построении разностных аппроксимаций в областях сложного вида итюгда оказывается, что получается система уравнений со знаконеопределенной матрицей, в то время как исходная задача была знакоопределена. Чтобы преодолеть этот дефект, не прибегая к использованию вариационно-разностных методов, строят конечно-разностные схемы, используя дискретную аппроксимацию миншгазируе-мого функционала, соответствующего задаче. Приблизим исходный функционал дискретной аппроксимацией: 1{У) 1н{ум) = Ук{хд1/2) (хд - X,-:) + (p{x,i)iii+p{xg-i)yl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 [159] 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |