|
| |
|
Слаботочка Книги можно поставить в соответствие некоторый дискретный вариант. В руках квалифицированного математика методы решения конечно-разпостных уравнений являются мопщейшим средством исследования чувствительности ( устойчивости ) алгоритмов к вычислительной погрешностп. Если требуется исследовать алгоритм решения некоторой задачи, то подбирают близкую по структуре задачу (например, следуя принципу замороженных коэффициентов (см. гл. 10)), для которой решение соответствующей конечно-разхюстной задачи на.ходит-ся в явном виде. Анализируя алгоритм решения исходной задачи на примере этой конечно-разностной задачи, выносят предварительное суждение о его свойствах. Как правило, при практическом решении задач в большинстве случаев полученное на таком пути предварительное суждение дает правильное представление о свойствах алгоритма. Непосредстве1ШО конечно-разностные уравнения потребуются нам в следующем параграфе при описании многочленов Чебышева. Ниже будет проведена аналогия между конечно-разностными уравнениями одного дискретного переменного и обыкновенными дифференциа-льными уравнениями. Рассмотрим простейший случай одного линейного уравнения относительно неизвестной функции одного целочисленного аргумента 1у = Yai{n)y{n + i) = fin). (1) Это уравнение называется линейным разностным уравнением к-го порядка и является разностным аналогом линейного дифференциального уравнения А;-го порядка ly==Y.ix)yix) = fix). (2) Каждое из уравнений (1) и (2) имеет вид Ly = h, где L -линейный оператор. Уравнение Ly = О называют однородным; формулы yyiCi,...,Ci,n) или у = y(Ci,..., Ci, х) дают общее решение уравнения (1) или (2), если при подстановке значений параметров d можно получить любое решение рассматриваемого уравнения. Если v -частное решение неоднородного уравнения Lv = h, то разность у - V является решением однородного уравнения 1/(у - ч;) = h - h = 0. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения пред-ставимо в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Решения У\,...,Ут однородного уравнения Ly = О называют линейно зависим-ми в рассматриваемой области изменения независимого аргумента, если существуют Ci,..., Cm, не все равные нулю, при которых C\yi + + СтУт s 0. В противном случае эти решения называют линейно независимыми. Если функции уг являются решениями однородного уравнения Ly = О, то любая функция Ciyi также является решением этого уравнения, поскольку \i J г Проводимое далее параллельное рассмотрение уравнений (1), (2) подчеркивает общие черты этих уравнений и помогает найти путь исследования уравнения (1) по аналогии с уравнением (2). Пусть для определенности уравнение (2) рассматривается в области ж О, а уравнение (1)-в области п 0. Теорема. Пусть bi~{x) ф О при х О и все Ьг(х) непрерывны при х 0. Пусть ak{n) ф О при п 0. Тогда, общее решение однородного уравнения Ly - О записывается в виде где Ух,. , ук - линейно независимые решения уравнения Ly = 0. Доказательство. Согласно теореме существования уравнение ly = О имеет решение при любых начальных условиях y(0),...,y(-)(0). Согласно теореме единственности это решение единственно. Обозначим через yi{x) решения уравнения ly = О при начальных условиях ур = 5{, i,j = 1,..., к. Однородное уравнение ly = 0 можно представить в виде у(п + к) = -2Мп + г). (3) Если мы зададимся у{0),..., у{к~1), то из (3) сможем вычислить последовательно у{к), у{к + 1),.... Таким образом, при любых ?/(0),..., у{к-\) уравнение lijj) =0 имеет решение. Это решение единственно, поскольку значения любого решения удовлетворяют уравнению (3), а из этого уравнения значения у{к), у{к+\),... определяются однозначно. Обозначим через Уг{п) решения уравнения ly ~ О при начальных условиях угО - 1) = <5f > J = 1, ) к. Эти решения образуют линейно независимую систему. В самом деле, если то при J = 1,..., /с имеем г=1 г=1 Следовательно, в случае то при j = \,..., к имеем к к О = 3 -1) = Е = г=1 i=i все d обязательно равны нулю, поэтому функции yi,...,yfc линейно независимы. Пусть у (ж)- какое-либо решение уравнения Гу = 0. Функция z{x) = Yy-\Q)yj{x) Пусть у{п) - какое-либо решение уравнения ly = 0. Функция к 4п) = J2yiJ-l)yj{n) является решением этого уравнения при начальных условиях у(0),...,у(-1)(0). у(0),...,у(А;-1). Вследствие единственности решения уравнения ly = О имеем у(ж) = j;y(-i)(0)y,(x). 3 = 1 Теорема доказана. ly = О имеем 3 = 1 Далее в курсе дифференциальных уравнений устанавливается следующий факт. Если известны к линейно независимых решений однородаюго уравнения ly = О, то нахождение решения неоднородного уравнения (2) сводится к решению уравнений dCj/dx = gj{x), * (4) где Qjix) - известные функции, т.е. к отысканию квадратур. Точно так же в случае, когда известны к линейно не независимых решений однородного урав- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |