|
| |
|
Слаботочка Книги + P{Xq)yqAXq.l +p(Xq)y,jAXg - - f{xg)(Axg-i + Axg) = 0. q=l,....N~l: Д.Тд = Жд+1 - .Ту. Поделив предыдущее соотношение на -2, где 6д = (Аж + Axg-i)/2, получим конетно-разностную схему 4Xq+l/2)-д--Ч-1д--х/2) Ах --, LqVq = -7;ТА,--р-у ~ f- = (19) совпадающую со схемой (8.3) в случае равномерной сетки. Выражение IhiVh) в (18) является многочленом второй степени от переменных yj; оно записывается в виде N-1 N-1 Ыуь) = Е irnVj + biyi + с; вьшге учтено то, что уо = с у,\ = Ь- Из (18) видно, что первью две суммы в i(y/i) неотрицательны. Поэтому 4(?y/0-min/ (Ы . При таком поведении многочлена второй степени в окрестности беско-нечности его главная часть (iiyiyj неотрицательна, т. е. Л = [оу] 0. ij=l Поскольку aij -- tdIii(yii)/dyidyj, то матрица А автоматически оказывается симметричной. Задача 1. Доказать, что при к > О, р О матрица А положительно определена. Чтобы проведенные рассуждения о неотрицательности матрицы А были справедливы, целесообразно строить аппроксимации функционала, приближая выражения, стоящие под знаком квадрата, не раскрывая скобок. Пусть, например, исходная задача является задачей на экстремум функционала: /(у) = [ {к{х){у + X{x)yf + р{х)у) dx; р 0. Jo производные dfiJOyq, получаем систему у])авнений § 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае 485 Интеграл от первого слагаемого приближаем выражением от второго -так же, как в (18). Все проведенные выше рассуждения остаются в силе, и поэтому соответствующая матрица А неотрицательна. Если раскрыть скобки в [у + Х{х)у), а потом аппроксимировать интеграл, то может случиться, ito условие А О при крупных шагах будет нарушено. Из последних рассуждений следует заключение, которое особо cyni,e-ствененно в многомерном случае. При построении коненно-розност.ных .методов путем аппроксимации минимизируемого функционала целесообразно записать фгункцшпю.л в виде суммы интегралов от квадратов некоторых выражений и линейной части и аппроксимировать эти выражения, не раскрывая скобок. 6. Случай невариационной задачи. Для невариациоиных задач разностные схемы можно получать, аппроксимируя интегральное тождество, из которого определяется решение. Применим этот способ к рассматриваемой нами вариационной задаче. Будем аппроксимировать интегральное тождество Л(?/, Ф) = {куф + руф - /ф) dx = О ./о дпя любой функции ф [о, X]. Имеем А{у, ф) Л,(у ф,) = ЕМ-О V + + Y.2{P- ~ ч))Ф1 + iPiJ:,i-i)yg-i - /{хд-1))ф,1-1Ахд-1 = 0. Полагая фд - ф = Q и собирая коэффициенты при одних и тех же фд, получим Ahiyh, Фк) = YSgLgyg = О, где ЬдУд определено формулой (19). Выражение Ah{yh, /i) равно нулю для любой сеточной функции ф, если все ЬдУд = 0. Полученная система уравнений совпадает с системой уравнений (19). h I--- 1 , Uo = UN = О, явля10ш;ееся сеточным аналогом нормы пространства W2- 2. Иногда оказывается, что решение имеет особенность в конечном числе точек, а вдали от них является гладким. Например, относительно решения ршогда можно установить, что оно имеет вид y{x) = J2Cjj{x) + u{x), где j (ж) известные функции, а (ж) - неизвестная гладкая функция. Если некоторые из коэффициентов Cj, нанример С+ь..., С(, известны, то следует перейти к новой неизвестной функции У* = У- Y1 Gjjix). Далее рассматриваем случай- все Cj неизвестны. Приближение для гладкой части игцем в виде N 9=0 § 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае Погрешность итерационных методов суш,ественно зависит от точности, с которой можно приблизить решение функциями из пространства, в котором пишется решение. Рассмотрим некоторые задачи, в которых при использовании вариационных методов имеет смысл несколько усложнить построение системы базисных функций. 1. В случае разрывного коэффициента к{х) производная и также разрывна, поэтому решение плохо приближается кусочно-линейными функциями. В то же время выражение ки является дифференцируемой функцией. Поэтому для достижения более высокой точности целесообразно искать приближение в виде функции, которая на каждом из отрезков [xgi, Xfj] является решением уравнения ку - const или, что то же самое, {куУ = 0. В этом случае получается вариационно-разностная схема, имеюш;ая в сеточной норме Woji порядок сходимости О (/г) даже при измеримых функциях к{х), р(ж), /(ж). Под нормой W2. Л понимаем выражение 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [160] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |