|
| |
|
Слаботочка Книги (X - ж) ехр I - {X - x)j. Поэтому приближенное решение имеет смысл отыскивать в виде yix) = ±axe.J-.A к=о I J + YlkiX - х) ехр {-/-I + Е сдрф); Здесь Cjt, jDfc, - неизвестные коэффициенты. где (Рд{х) те же, что и в (10.9), т.е. решение игцется в виде .7 = 1 /=0 С неизвестными коэффициентами Cj, Cq и нри дополнительном условии на эти коэффициенты, имеющем вид у(0) = а, у{Х) - Ъ. (Здесь для определенности мы приняли, что 0],..., V(, .., if линешю независимы.) Функции ф{х) в отличие от функций ip обьпшо имеют носитель, размеры которого не стремятся к нулю при уменьшении шага сетки. Поэтому строки матрицы А, соответствующие функциям tpj, как правило, будут полностью заполнены. Матрица системы уже не оказывается трех-диагональной. Перестановкой строк и столбцов ее можно преобразовать к виду, где riij = 0. если одновременно \i - j\ > 1, \j\ > / -Ь 1. Если решать эту систему методом Гаусса при обратном порядке исклюгепия неизвестных, то общее число арис15метических операций оказывается, как и в случае трехдиагональных матриц, порядка 0{N). В описываемом случае надо особенно внимательно следить за погрешностью метода решения задачи (включающей в себя погрешность приближенного вычисления интегралов) и вычислительной погрешностью. Рассмотрим в качестве примера краевую задачу efix) - р{х)ух) = fix), р{х) > О, ?/(0) = а, у{Х) =Ь, £ - малое. Формально говоря, решение не им(;ет особенности. Однако при малом е имеется пограничный слой, где производные от решения велики и решение плохо приближается функциями вида (10.9). Из теории асимптотических методов известно, что в окрестности точки ж = О решение хорошо приближается линейными комбинациями функций вида х ехр 1 - х I, а в окрестности точки X - функций вида § 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения Как было установлено ранее, вычислительная погрешность пмеет различный характер роста для различных способов решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим теперь такой частный, но важный вопрос: как зависит вычислительная погрешность от формы записи конечно-разностных уравнений? Хотя все изложение ведется [la примере задачи Коши, проводимые соображения относятся в равной мере и к случаю решения краевых задач. Для примера обратимся к методу Эйлера: Уп+1 Уп + hfiXn, Уп)- (1) При реальных вычислениях будут получаться величины у,*, связанные соотношением Уп-1 = Уп + hfixn, Уп) + Sn, (2) наличие слагаемого ёп является следствием ряда причин -погрешностей при вычислении значений функции f{xn, Уп), погрешностей при округлении произведения hf{x , Уп) и погрепгностей при сложении чисел у* и округлершого значения hf{xn, Уп)- Введем обозначение у* - у = А; на основании формулы Лагранжа имеем fi-r.n: ?/*) - /(Ж, Уп) = / А , где In = fy{xn, Уп)- Предположим, что всегда \fy{x, у) L. Вычитая (1) из (2), получаем Дп+1 = {l+lnh)An + en, откуда An+i (1 -Ь Щ\Ап\ + S, Л = maxSn- (3) Рассмотрим разностное уравнение Zn+i = {1 + Lh)zn -h 5, являющееся маснсорирующим для (3). Его решение при начальном условии zo = Ао есть .° = Ao(l-fLhr + +f V Лемма. При всех п О справедливо Доказательство. При тг = О утверждение (4) очевидно. Пусть оно верно для некоторого п; тогда имеем Лемма доказана. Если интегрирование производится на отрезке [.то, xq + X], то nhX, (1 + Lh) (ехр {ЩУ ехр {LX}. Согласно формуле Лагранжа при у О имеем - 1 = v/e ус-, где О 1- Отсюда получаем (1 + Lhy - 1 е- - 1 LX ехр {LX}. В итоге имеем оп,енку Д U, J Aoexp{LX] +/riXexp{LX}. Рассмотрим случай До = 0. Тогда погрешность Д,1 = у* - у при фиксированном X оценивается сверху через Oieh ). Эта оценка неулучшаема по порядку. Например, при До = О, ./,; = О, 6п = й имеем A,j+v = Дп + 6 и, таким образом, AN = NS = SXh~\ Приведем некоторые рассуждения, из которых следует, что погрешность округления может оказаться величиной порядка Slir. Соотношение Уп+1 = Уп + hf{xr у1) + 5п можно переписать в виде у1+1 =yl + hf*{xn, у*п), nxn,yl) = f{xr,.y*n) + 5nh-\ Таким образом, результат численного интегрирования уравнения у = /(.т, у) при наличии округлений будет такой же, как если бы без округлений интегрировалось уравнение со значениями правой части в узлах сетки f*{xn, Уп)- Рассмотрим случай ёц = S. Разность между решениями дифференциальных уравнений у= fix, у) и у = fix,y)+Sh имеет порядок разности между правыми частями этих уравнений, т. е. 6h~. Нет оснований ожидать, что решения разностных уравнений Уп+i = Уп + hf{xn, Уп) и = г/* +h{f{xn, Уп) + Sh~) будут отличаться на ве- личину, суш;ественно меньшую Sh~. Если 6 порядка 2~*, < -разрядность чисел в ЭВМ, то решение разностного уравнения изменится на величину порядка 2~Л Ч 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [161] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |