|
| |
|
Слаботочка Книги При получении этого вывода было сделано допущение <5 = 6. Рассмотрим задачу вычисления интеграла / /(.с) dx, являющуюся частным случаем рас- .10 сматриваемой задачи при у(0) = 0. Пусть f{x) = 2/3, h = 2~. t-k- нечетно. При х > 3/4 значение (/ лежит в пределах (1/2, 1). Тогда после округления при сложении (/ = 0, la-i. .tVf, hf = 0, р..О 1Q...101 OlQl... к t-k каждый раз происходит отбрасывание подчеркнутой величины, равной (1/3)2~*. Таким образом, на этом участке дерютвительно 6 = 6 порядка 2~. Перейдем к случаю интегрирования уравнения у = f{x, у) при помощи простейшего метода Уп+1 - 2Уп + Уп-1 ,., ч -- = j{Xn, Уп) по расчетной с})ормуле Уп+1 = 2уп - Уп-1 + hf[xn, Уп)-Реально получаемые значения у* связаны соотношением Уп+1 = 2у*п - у1-1 + hfixn, Уп) + Sn- (5) Значения у* можно рассматривать как получаемые без округлений при вычислениях по формуле Уп+1 = 2Уп - Уп-1 + *(Ж , Уп), где f*{xn, у*) = f{xn, Уп) + Snhr-. Рассмотрим случай Л = 5. Тогда решения дифференциальных уравнений у = f{x, у) и у = f{x, у) + Sh~ различаются между собой на величину порядка eh . Задача 1. Показать, что в агучае уравнения у = а, а = const, возможен случай 6п = S, 6 порядка 2~*. Как и для уравнения первого порядка, делаем вывод, что для рассматриваемого алгоритма суммарная вычислительная погрешность может оказаться величиной порядка 2~*hr. Требование малости этой величины накладывает ограничение снизу на допустимый шаг интегрирования. Рассмотрим случай, когда такая величина вычислительной погрешности оказьшается недопустимо большой. Можно было бы записать рассматриваемое уравнение в виде системы уравнений первого порядка у = = f{x, у) (6) и применить какой-либо метод численного интегрирования этой системы. Как уже отмечалось, при этом произошла бы потеря эффективности. Уп - hYa.if{xn-i, Уп-i) = О поскольку методы, применимые для систем общего вида, не учитывают специфики этой системы. Попытаемся записать рассматриваемую расчетную формулу как некоторую расчетную формулу интегрирования системы (6). Введем новую дискретную переменную Уп - ? .-! тогда уравнение (5) запишется в виде -~[- = /l Уп)- Вычисления поагедовательных значений г/ , будем производить при помощи пары расчетных формул Zn+l = Zn+ hfixn, Уп), Уп+1 = Уп + hZn+1. (7) При наличии округлений соответственно имеем <+1 = < + (Жп, Уп) + п, Уп+1 = Уп + fK+1 + 0п, где am Рп = 0{2~*). Эти соотношения можно представить в виде <+1 = <г + !Г{хп, Уп), Пп, Уп) = 1{хп, Уп) + a h~\ У*п+1 =Уп+ Hzn+i + g{Xn+l)), 9{Xn+l) = Pnh Если формулы (7) можно трактовать как формулы численного интегрирования системы z = /(ж, у), у = z, то формулы (8) соответствуют системе z = f4x,y), у = г+д{х). Правые части этих систем различаются па величины порядка 0{2~h~)\ поэтому есть какие-то основания ожидать, что и решения разностных задач, т. е. решения разностной задачи с округлениями и разностной задачи без округлений, будут различаться иа величину того же порядка. Задача 2. Доказать справедливость утверждения, сформулированного выше. Конечно, к этому заявлению следует отнестись с осторожностью; мы уже видели, что для некоторых конечно-разностных схем малые погрешности могут приводить к катастрофическому изменению результата. Приведенные рассуждения о влиянии вычислительной погрешности в конкретных методах интегрирования уравнений первого и второго порядков опираются лишь на учет свойств конечно-разностной схемы, связанных с порядком дифференциального уравнения. Поэтому они переносятся на другие конечно-разностные методы. Например, при интегрировании уравнения у = /(ж, у) и прямом использовании схемы следует ожидать влияния вычислительной погрешности порядка 2 /г Таким образом, в случае уравнений высокого порядка eui,e более aKTyajn-иа задача преобразования схемы к форме, где влияние 1п>1числ1ггелы10й погрешности будет меньше. Например, аналогично случаю к = 2 целесообразно ввести вспомогательные переменные zl=Vy lr\ i = l,..., Попытаемся объяснить улучшение свойств разностной схемы (5) при переходе к расчетным формулам (7), оценивая количество храпилюй информации. При исгюльзовании расчетной формулы (5) при каледом п в памяти ЭВМ хранятся величины и ?/ , и все дальнейхние зна- чения yj определяются по этим знагениям. Пусть для определенности 1/2 < Уп 1 и \уп - Уп-~1\ Mh. В ячейке, содержатцей значение ?/ != 0,1о;2 ... Q(, имеется t-1 независимых двоичных знаков 0-2,..., д; разряды числа j/n = 0,1/32 ... А уже не все несут новую информацию. Дело заключается в следующем. Пусть / наибольшее целое, такое, что Mh < 2~+1. Тогда имеем Уп - Уп~1 = ±0,0... 07(+1 ... 7t, и для задания Уп ~ Уп-i, t- следовательно, и у достаточен t - 1 + l двоичный знак (знак разности и 7/+j,..., 7t)- Поскольку I ~ log2((A t)~), то общее количество независимой информации, которое имеется в нашем распоряжении при каждом п, составляет 2< -log2((M/i) ) двоичных разрядов (с точностью до слагаемого, не зависящего от / и /г). В случае вычислений по формуле (7) все разряды чисел у и пеза-висимы и поэтому информация о решении задается независимыми двоичными разрядами. Тот факт, что количество независимой информации для второго способа больше, конечно, не означает, что этот способ лучше. Не иск.пюче-но, что эта дополнительная ипформаи,ия не является содержательной и поэтому не позволяет точнее определить решение. Поясним, почему дополнительная информация при втором способе является содержательной. Для определения решения дифференциального уравнения второго порядка с точностью 0(e) требуется задание с такой же по порядку точностью значения решения и его производной в некоторой точке. Для разностного уравнения роль этих величин играют и (j/ - iy i) i. При первом способе задание значений у и уп-i с t двоичными знаками позволяет определить {уп - Уп-\)/ с погрешностью порядка 0{2~h~). Таким образом, здесь по известной нам информации мы располагаем возможностью найти дальнейшие значения решения сеточной задачи с погрешностью порядка 0(2~*/i~) (если все последуюшие вычисления будут производиться абсолютно точно). В случае второго способа мы имеем значения уп и (j/ - y-ij/h с t двоичными знаками, поэтому обладаем возможностью найти решение сеточной задачи с погрешностью порядка 0(2~*). ItiKHM образом, эта дополнительная информация действитель- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |