|
| |
|
Слаботочка Книги § 12. Влияние вычислительной погрешности 493 но оказывается содержательной. На каждом шаге реального чисшенного интегрирования погрегиности округления вносят дополнительную хюопре-делешюсть в компоненты вектора (у , (у - во втором случае порядка 0(2~*), в первом - порядка 0{2~/h). Это и приводит к тому, что суммарная вычислительная погрешность решения во втором случае может оказаться величиной порядка 0{2~*h~), а в первом - порядка 0{2-4ir). Рассдютрим метод прогонки решения сеточной краевой задачи (1.3), соответствующей уравнению второго порядка у (х) - р{х)у{х) = f{x) при р{х) = р = const. Коэффищюпты Сп вычисляются по следующим рекуррентным формулам Сп+1 = (2-ЬрЛ2 -С )~; в случае р{х) =р целесообразно заранее вычислить Q = 2+ph и вести вычисления по формуле C +i = (Q - С ) . При вычислении суммы 2 + ph произойдет округление, т. е. получится величина Q = 2 + ph? + 6, где S может оказаться величиной порядка 2 *. Это равносильно тому, что без округлений решается уравнение у {х) -р*у{х) = fix), где =p + 6hr. Рассуждая, как и вьнпе, получим, что такое возмугцение коэффициента р может привести к возмущеник решения на величину порядка 2 */?, . Если коэффициент С существенно больше 1, то при вычислении выражения р1г + 2 - С погрешность округления может оказаться величиной порядка 2~h~\Cn\ Поскольку вклад от погрешности в одной точке в суммарную погрешность умножается на коэффициент порядка h, то влияние этого округ.пе-ния на окончательный результат порядка 2*/i~C . Если C j 2> hr, то это выражение будет существенно больше чем 2~*/i~. Замечание. Возмущения, вносимые другими округлениями при вычислениях Сп и Ipn, также равносильны некоторым возмущениям коэффициентов р и f. Чтобы погрешность решения системы (1.1) была существенно меньше, необходимо по крайней мере задавать ее в форме, где округ.пения коэффициентов системы равноси.пьны существенно меньшим возмущениям коэффициентов исходной дифференциальной задачи. С этой це.пью можно, например, перейти к системе -h--~Тг--Pnyn = f- (9) Соответственно при решении .этой системы вместо рекуррентных соотношений (3.11) относитапьно коэффициентов С , ipn следует перейти к рекуррентным соотношениям (4.9), (4.10) относительно а , /3 . Выше рассматривался случай, когда при всех п погрешность округления оказывалась одной и той же. Если коэффициент р{х) ф const, то при вычислении величины 2 + Pnh? при различных п округления могут оказаться различных знаков, и поэтому суммарная погрешность может оказаться по порядку меньшей чем 2~7i~2. в случае задачи Коши для уравнения у = /(ж, у) при условиях h = 2~, 2~h~ < 1 вычиаштельная погрешность часто накапливается медленнее - как Sh . Обратим внимание на прием практической оценки вычислительной погрешности путем изменения масштабов, применяемый иногда для экспериментального исследования чувствительности метода к вычислительной погрешности. Пус;ть некоторым методом решается задача Коши f: = П-г, у), 2/(0) = а. Замена переменных х = iit, у = \z сводит эту задачу к задаче Предположим, что первая задача интегрировалась с шагами 1ц\ осуществим численное интегрирование второй задачи тем же методом, но с шагами h\ = При отсутствии округлений будет иметь место равенсггво ? = Azj; если Л и ц оба не являются цельпш слепенями двойки, то разносить между реально получаемыми значениями величин yi и \zi обычно дает определенное пред-счавление о величине вычислительной погрешности. Например, можно взять Литература 1. Бахвалов Н. С. Численные методы -М.: Наука, 1975. 2. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых за.нач при наличии пограничного слоя ЖВМиМФ. 1969, 9, N 4. С. 841-859. 3. Крьшов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения ~ Минск: Наука и техника, 1982. 4. Крылов В. 14., Бобков В. В., Монас;тырный П. И. Вычислительные методы. Т. 2 - М.: Наука, 1977. 5. Самарский А. А., Тихонов А. Н. Об однородных разностных схемах ЖВМиМФ.-1961.-1, N 1. С. 5-63. 6. Соболев СЛ. Некоторые замечания о численном решении интегральных уравнений Изв. АН СССР, сер. матем. -1956. 20, N 4. С. 413-436. 7. Федорова О. А. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии Матем. заметки -1975. -17, N 6. С. 893-898. --- Глово 10 ======= Методы решения уравнений в частных производных в случае решения обыкновенных дифференциальных уравнений мы видели следуюш;ую картину. Имеется ряд уравнений, интегрируемых в квадратурах. Решение большинства уравнений можно получить, используя лишь численные методы. Принципиально различных постановок задач довольно немного: в основном это задача Коши, краевая задача для линейных уравнений, краевая задача для нелинейных уравнений. Имеется небольшое количество теоретически исследованных и практически отработанных алгоритмов, позволяющих эффективно решать существенную часть задач, связанных с численным решением обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, ряд численных методов решения задачи Коши был разработан еще в прогплом веке. В настоящее время разработка методов и алгоритмов регпения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута настолько, что зачастую исследователь, имеющий дело с этой задачей, не занимается выбором метода ее регпения, а просто обрап1,ается к стандартной программе. В случае уравнений с частными производными число принципиально различных постановок задач существенно больгпе. В курсе уравнений с гастными производными обычно рассматривается незначительная часть таких постановок, главным образом связанных с линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. При этом существует очень малое количество задач, регпаемых в явном виде. Многообразие постагювок в теории уравнений с частными производными связано с многообразием явлений окружающего нас мира. Большое количество различных постановок задач, связанных с решением уравнений в частных производных, привело к тому, что теория численных методов в этом направлентг дробится на большое число направлений. Использование численных методов с применением ЭВМ сильно расширило возможности в исследовании подобных задач. Например, разработанные за последние пятьдесят лет алгоритмы дают возможность решать с приемлемой затратой машигшого времени подавляющее большинство краевых задач, связанных с решением одно- и многомерных уравне- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [163] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |