|
| |
|
Слаботочка Книги 496 Глава Ш. Методы решения уравнений в частных производных НИИ параболического типа с переменными коэффициентами, в частности с коэффициентами, нелинейно зависящими от решения. Конечно, здесь иначе, чем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, обстоит дело с обоснованием сходимости численных методов и оценкой погрешности. Для П1ироких классов типовых задач такие исследования проведены. Однако для многих важных классов прикладных задач, предъявляемых математикам для решения, пе только не доказан, но часто остается неясным сам факт суш,сствова1пзя репшния. Например, уже д.пя простой иа вид системы щ + и = 0, ((sign7)?P) = 0, (1) охпюывающей одномерное адиабатическое течение газа в лагранжевых координатах, не доказан при I7I > 1 факт существования решения в целом (т.е. на неограниченном промежутке времени). При таком состояшга вопроса о существовании ешения в настояш,ее время трудно ожидать получения cTpoiTix оценок погреппюсти и теорем сходимости сеточных методов при достаточткт общих предположениях. Тем не менее, часто пользуясь полуэмпирическими соображениями, аналогиями по сравнению со случаем линейных уравнений и численными экспериментами на задачах с известным точным решением, матема-. тики создают численные методы решения и для таких задач. При этом результаты и анализ численных расчетсл? наравне с экспериментом оказывают существенное влияние на развитие соответствующих разделов теории уравнений с частными производныьш. Так, например, обстоит дело в случае решения уравнений газовой динамики типа (1). Несмотря на отсутствие строгих обсх;пований чисто математической (в частности, алгоритмической) стороны вопроса, математикам, занимающимся решением подобных прикладных задач, часто приходится брать на себя ответственность за достоверность получаемых численных результатов, включая правильность математической постановки задачи. Конечно, все сказанное не умаляет роли чисто теоретических исследований. Их результаты, в частности теоремы существования, дают уверенность в правильности постановки, подсказывают информацию о качественных свойствах решения, что крайне важно при выборе алгоритма. Наличие известных частных решений, например в задачах газовой динамики, позволяет производить проверку точности предлагаемых методов. Использование известных частных решений простейших задач часто позволяет облегчить численное решение более сложных задач. § 1. Основные понятия теории метода сеток На первых этапах практического решения задач для уравнений с частными производными применялись в основном вариационные и другие методы, где приближенное решение получается в виде некоторой аналитической формулы. При решении некоторых задач такие методы придгеня-ются и в настоящее время. В последующий период наибо.чее актуальныдги для решения стали задачи ядерной проблематики и задачи динамики газа и жидкости, где подобные методы црактически неприменимы. На решение этих задач были направлены усилия крупнейших математиков, что имело, в частности, своим следствием создание и гпирокое продвижение сеточных методов регпения уравнений с частными производными. В настояи;ее время эти методы наряду с вариационно- и проекционно-разностпыми (метод конечных элементов) являются наиболее распространенными. При регпегши задач сеточными методами мы получаем совокунггость приближенных значений решения в некоторой конешой системе точек. В сшучае необходимости можно построить формулу (например, интерполяционную) для приближенного представления решения во всей области. Рассмотрим простейший пример ретпения задачи сеточным метододь Пусть в полуполосе О < х < 1, О < / < х; рсгпается уравнетгае ut-~u ,=-fix,t) (1) нри начальном и граничных условиях и{х, 0) = ф:)., и-АО, t) + a{t)u{Q, t) = b{t), и{1, t) = 0. (2) Зададимся некоторыми шагами сетки /; г > О (1/7; = А/ -целое). Точки (mh, пт) назовем узлалш сетки [т, п); пусть uj - приближения к значениям u{mh, пт), 12 = f{mh, пт). а = а(пт), Ь = Ь{пт), /) и .fh - функции, определенные на сетке, со значеииядш и и в узлах сетки. Если искомое решение исходной дифференциальной задачи есть гладкая функция, то выполняются соотношения - , u(nih, (п + 1)т) - xt(mh. лт) Lhuimh, пт)= ------- и{{т + l)h, пт) - 2u{mh, пт) + и{{т - l)h, пт) (3) = ut{mh, пт) - Uxxinih, пт) + 0{h +т) = f{mh, пт) + 0{h + г), I / L чг U{h, пт) - и{0, пт) / ч /гл ч lhu{mh, пт)(о ) =----+ а{пт)и{0, пт) = = (О, пт) + а{пт)и{1д, пт) + 0{h) = Ь{пт) + 0(h). Исходя из этого можно сделать предположение, что решение системы LhMhkrnM =-гп 0<т<М, О 4 и, (5) 1пщ](о,п) Ь\ ul[ = 0, п>0, (6) = ifiinh), О < m М, (7) является приближением к точному решению исходной задачи. Значения решения системы (5)-(7) дюжно находить последовательно при каждом п следующим образом: и, нам заданы, при каждом я величина riilf О, знагения uj при О < т < М находим из (5), а затем - из (С). Докажем теорему, пока:5ывающую, что сходимость приближенного решения сеточной задачи к решению дифс1еренп,иальной при т, h -> О не обязательно имеет место. Пусть в области D с границей Г = ре- шается краевая задача Ци) = / (8) при граничных: условиях 1г{и) = ifi на г./, г = 1,..., S. (9) Фиксируем какую-либо точку Р в пространстве независимых переменньгх:. Значение решения и{Р) зависит от коэффициентов уравнения, правой части / и функций ipi. Рассмотрим случай, когда уравнение (8) и граничные условия (9) линейные, и изучим вопрос о зависимости и{Р) от значений функции (fj. В случае нелинейного уравнения или исследования зависимости от коэффициентов уравнения, которая является нелинейной, проводимые далее рассуждения требуют для своего обоаювания некоторых дополнительных формальных построений. Пусть Ф1 - некоторый класс функций ipi. Областью зависимости fil(P, Фх) значения и{Р) по граничному условию hu = tpi ъ классе функций Ф1 назовем множество точек Q G Pi, удовлетворяющих следующему соотношению: для любой окрестности точки Q найдутся две функции 1,1 € Ф1 такие, что 1) ip] - (р\ вне этой окрестности; 2) если U\ и 2 решения задачи (8), (9) при одних и тех же /, 2i -1 Ps = О и при ip\ - ip\ м ipi = (fif соответственно, то Щ{Р) ф U2{P). При решении задачи (8), (9) методом сеток решение ищется в узлах некоторой сетки в пространстве независимых переменных. Будем считать, что сетка задается некоторым параметром /? причем -> О при 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [164] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |