Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [165] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Тогда значения гг при п > О определяем последовательно из соотношения

=(1 + аг 0г.:,-(аг/Л)< ,.

Пусть при измельчении сетки т/h = к = const. Тогда значения решения сеточной задачи в точке (жо, to) не зависят от начальных значений условий вне отрезка [хо, хо + K.to]. Точное решение дифференциальной задачи есть и{х, t) = uo{x - at). Поэтому в классе начальных: условий, облада-ющргх некоторым ограниченным числом производных, областью зависимости для дифференциальной задачи является точка xo - ato. Таким образом, на основании теоремы Куранта необходимым условием сходимости в

измельчении сетки. Если точка Р является узлом сетки, то нри данном h решение сеточной задачи, аппроксимирующей исходную дифференциальную задачу, зависит от значений ipi в некоторых точках границы Fi. Множество этих точек обозначим через Г22(Р, h).

Теорема Куранта (об областях зависимости). Для того, чтобы для некоторых /, ip2, - , Ps и всех ifi € Ф1 при h -> О значения в точке Р решений сеточной задачи стремились к значению в точке Р решения дифференциальной задачи, необходимо выполнение следующего условия: все точки лто-окества t\{P, Ф1) являются предельными для точек мномсеств i\i[P, h), иначе говоря,

ni{P, ФЛ с QilP, h).

Доказательство. Предположим противное, т. е. что существует точка Q € fii(P, Ф1), Q 4 \miQ,2{P,h). Тогда имеется окрестность точки Q.

/),->0

не содержащая точек множеств 12{P, h) при h < ho. Возьмем функции (р\, ifl G Ф1, соответствующие этой окрестности согласно приведенному выше определению области зависимости. Пусть и и - решения задачи (8), (9) при (fii = ip\, ipi = ipf соответственно и f,(p2,---, = 0. Пусть ?t° -регпение задачи (8), (9) при tpi = О к заданных /, у?2, , Vs- Тогда ui = гг -Ьгг , гг2 = гг + гг будут решениями задачи (8), (9) при tpi = (р\ и ifi = if соответственно и тех же f,ip2T--,<Ps- Значения регпеиий сеточных задач при соответствующих и U2 начальных и граничных условиях будут совпадать при h < ho. Поскольку в то же время Ui{P) ф U2{P), то для Одного из этих наборов граничных условий регпение сеточной задачи не сходится к решению дифференциа.яьной. Теорема доказана.

Рассмотрим пример применения этой теоремы. Пусть в полуплоскости t О решается задача Коши для уравнения щ + аи = О при начальном условии гг(0, х) = г1о{х). Зададимся сеткой с узлами в точках {mh, пт) и заменим исходную дифференциальную задачу разностной:

71+1 П п .П

+ !WiO, ul=uo{mh).

этом классе начальных условий является условие xo - ato G [xq, хо + к~+о] или, иначе, а О, \aT/h\ = \а\к 1.

Заметим, что в случае рассматриваемой схемы это условие случайно оказывается и достаточным условием сходимости.

Кроме вопроса о сходимости при анализе разностных аппроксимаций возникает проблема анализа устойчивости получаемого результата относительно погрешностей в исходньпс данных задачи и при округлениях.

Проиллюстрируем сказанное на этом же примере. Пусть а > О, ат/h = 1. Тогда значения гг , определяются из рекуррентного соотношения

При ~ о решением сеточной задачи будет гг = 0; пусть теперь = е и = О при т ф Q. Пользуясь этим рекуррентным соотношением, получаем, что тогда в узлах сетки гг , принимает следующие значения:

О при тп > О или т < -п,

~ С- 2 + (-1) е при -пт 0.

Отсюда Е] Wml = т.е. с ростом п азность между этим решением

т=-оо

И решением гг , = О катастрофически возрастает; поэтому при ar/h = 1 рассматривая схема не может быть признана пригодной для решения задачи в случае большого числа шагов также и вследствие большого ВЛИЯ1ШЯ вычислительной погрешности.

Таким образом, при замене решения дифференциальной задачи решением ее разностной агнтроксимации возникают следукщие проблемы (аналогичные проблемам, возникавшим ранее при рассмотрении методов решения других задач):

1) сходится ли точное решение разностной задачи к решению дифференциальной;

2) насколько сильно изменяется решение разностной задачи, если при вычислениях допускаются некоторые погрешности.

Построим формальный математический аппарат, помогающий при решении этих проблем.

Будем рассматривать задачу (8), (9). Относительно Г, будем считать, что Г, -заданные части границы Г, причем различные Г, могут иметь непустое пересечение; Zj -некоторые операторы; /, y?i,..., у? - заданнью функции.

Определим некоторое множество точек в пространстве независимых переменных: Dh, которое назовем сеткой (как правило, выбирают так, чтобы оно принадлежало замкнутой области D). Точки множества Dh называют узлами сетки. Обычно сетка, на которой отыскивается решение, зависит от нескольких параметров (в предыдущем примере от т

и h); однако во многих типичных случаях при Д1юблении сетки ее шаги связывают между собой каким-то законом вида т = v4/i°. Поэтому в дальнейших общих построениях и определениях для простоты мы указываем зависимость только от одного параметра h > 0.

Пусть Щ - пространство функций и/ , определенных в узлах сетки D, L/i - оператор, преобразуюгций функции из Uf, в функции, определенные на некотором множестве D С -D/ ; будем предполагать, что -DJ] С D. Множество функций, определенных в точках Df, будем обозначать через Fh- Для аппроксимации граничных условий (9) выбираются некоторые множества Гц С и в точках этих мгюжеств определяются значения некоторых операторов над щюстрапством функций С ,. Пусть Фг/, пространство функций, определенных в точках множеств Гц1. Если X С Y и функция V определена на множестве Y, то ее следом на множестве X называют функцик, определенную на множестве X и совпадающую там с V. Если функция V определена на некотором множестве, содержащем Dh, то ее след на этом множестве будем обозначать [г>]/ .

Пусть и-пространство, к которому мы относим решение задачи (8), (9); F - пространство правых частей /; Ф - пространства функций, определенных на Г. Пусть в пространствах функций U, Uh, F, F/i, Ф, Фц, определены нормы

II-lit/, II-lit/., II-IIf, II-Ik, II-Ik, II-Ik.-

Эти нормы называют согласованными, если при h О для любых достаточно гладких функций и G U, / € F, ipi € Ф, выполняются соотношения

II Ын. \\и, ЫЬ; II [/]/. IIf II/IIf; II Ын Ik ЫЫ-

Говорят, что сеточная функция и сходит,ся к решению задачи (8), (9), если

\\uh - VAhWuh С Ри h-Q.

Исследование сходимости разностных аппроксимаций имеет смысл производить лишь в нормах, согласованных с некоторыми нормами в пространствах гладких функций. Если отказаться от требования согласованности норм, то условие сходимости иногда может перестать быть содержательным: в случае любой последовательности сеточных: функций

путем введения некоторого множителя, достаточно быстро убывающего при /г -) О, в определение нормы можно добиться, чтобы эта последовательность сходилась к регпению задачи и.

Рассмотрим некоторую сеточную задачу

Ыщ) = Л, (10)

lih{uh) = iPih, i = l,...,s. (11)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [165] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208