|
| |
|
Слаботочка Книги Проиллкстрируем приведенные определения на примере рассмотренной аппроксимации уравнения теплопроводности. Через D будем обозначать множество точек 0<ж<1, 0<fT; пусть Г] -отрезсж [О, 1] оси ж, Г2 - полуинтервал (О, Т] оси t, Г3 - - полуинтервал (О, Т] прямой ж = 1; точки (О, 0), (1, 0) можно было бы отнести и к множествам Г2, Г3 соответственно. Если 1/h = М, N = [Т/т] - целые, то через Dji обозначим множество точек [mh, пт) -узлов (т, п), удовлетворяющих условиям О т < М, {) 11 4 N. Определим сеточный оператор соотно шением ,п+1 ,п ,п on , п LhUh\(m,n) =-----2- (13) Тогда множество 1) будет состоять из узлов (т, п) таких, что О < m < М, О 4 п < N; в остальных узлах (vn, 71) при w/j G Uk значения Li,uii не будут определены. Если правую часть (13) обозначить как L/jW/Jjj n+i) то множество Df будет состоять из узлов (т, п) таких, что О < гп < М, О < п iV. Правую часть сеточной задаш выберем в виде fh\(rn,n) = firrfh пт). Тогда величина Ц --[/]/ Цр! входящая в выражепие z{h), есть нуль. Это соотношение выполняется не для всех с:хем; например, из соображения повьппения точности иногда разумнее было бы полагать правую часть разностной задачи в точке (гп, п) равной f(mh, (п + 0,5)т). В качестве согласованных норм \\-\\и и \\-\\и нри исследовании этой задачи обычно выбирают нормы = sup Kj, \\и\\и = sup \и{х, t)\ Говорят, что сеточная задача (10), (11) аппроксилтрует дифференциальную задачу (8), (9), если выполняется следующее условие: при любых гладких и, / и (fi z{h) = II ~ [Цп)], 11 + II /, - [/], 11. + + Е (II ЛМ/О - %W)\h 1фи. + II № - [Vi]/- о, если /г 0. WUhWUi, = SHp 0< up . [15) = snp \ / \и{х, t)\ dx. в дальнейшем для простоты изложения будем предполагать, что операторы L, li, Lfi, kh линейные. В этом случае вводится следующее определение устойчивости {корректности) сеточной задачи {10), {И)- Эту задачу называют устойчивой, если при h ho существуют постоянные Mq и Mi, не зависящие от h, такие, что \\uh\\uu MoWLhUhWF + Е ШгкЩЫш- (16) Как видно из определения, в случае линейной задачи в определение устойчивости не входят фупкпди , и ipih- Посмотрим, какой смысл в этом определепии. Для случая линейных задач разностная схема (10), (И) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Поэтому из (16) следует, что при fh = О, ipih = О система уравнений (10), (11) имеет лишь нулевое решение; поэтому на основании теоремы Кронекера-Капелли задача (10), (11) разрешима при любых правых частях Д, (рц,.- Таким образом, в случае линейной задачи из условия устойчивости следует однозначная разрешимость системы сеточных уравнений при любых правых частях. Если uj, и uf, - решения сеточных задач Lhuji = fL hhUh = рЬ г = 1,..., .S, Lhul = fl, lihul = ip%, i = l,...,s, то нри линейных L/, и 1ц, согласно (16) можно написать 114, - IWu, MoWLhui - L uI\\f, + Ем II khul. - khul ф., = = Moll fk - fl \\f, + E II - vl Uiu- Таким образом, в случае выполнения условия устойчивости решения сеточной задачи мало различаются друг от друга при малом изменении правых частей уравнения и граничных условий. или же нормы Пусть и Е и. Величину = Lh[u]h ~ ,fh называют погрешностью ап-проксимсщии уравнения на решении задачи, а величины rj = lih[u]h~Pih - погрешностями аппроксимации граничных условий на рситши задачи. Положим ро{К) = II Lh[u]h - /л IIf,., 1Ч[Ь) = II lih[u]h - V>ih Ф ,- Если и - решение задачи (8), (9). то величину p[h) =pi{h) называют мерой гпогрегиности аппроксимации 2Х1,знос7Пной схемы [10), {11) дифферен-и,иальной задачи {8), [9) на решении. Если p{h) -> О при /г, -> О и и-решение (8), (9), то говорят, что (И), (12) аппроксимирует (8), (9) на решении задачи. Порядок величины p[h) при /г -> О называют порядкол-i аппроксимации на решении. Выше обсуждалась проблема чувствительности реально получаемого приближенного решения сеточной задачи к округлениям в процессе вычисления этого решения, или, иначе, проблема устойчивости приблил<;ен-ного решения сеточной задачи к погрешностям округления. Решение этой проблемы тесно связано с решением всшроса об устойчивости разностной задачи. Дело в том. что округления, допускаемые при вычислениях, молено рассматривать как возмущения коэффициентов сетотной задачи. Найдем связь между аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью. Предположим, что сеточная аппроксимация (10), (11) удовлетворяет следующим условиям: 1) решение дифференциальной задачи удовлетворяет тоню (s - к)-сеточным граничным условиям hhbAh - Vih, г = /с -Ь 1,..., .s, т. е. pi{h) = 0, i = А; -Ь 1,..., .s; 2) на классе функций из С удовлетворяющих однородным граничным условиям khUfi =0, г = А: -t- 1,..., 5, вьнюлняется условие устойчивости Мо II Lf,Uh \\f + Е II И*. Теорема Филиппова (о связи устойчивости, аппроксимации и сходимости). При сформулированных выше условиях выпол-аяется неравенство Если разностная задача аппроксимирует дифференциальную, то IIUh - [u]h Wuh О при h -i-0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 [166] 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |