|
| |
|
Слаботочка Книги § 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач Изучение многих важных прикладных задач требует численного решения краевых задач для систем уравнений с частными производными гиперболического типа. Такими системами являются, например, системы уравнений газовой динамики, которые являются квазилинейными системами. Доказательство. Поскольку khiui, ~ [a]h) = О при i = + то воспользуемся условием 2), подставив в него и. - \v\h вместо it/j. Имеем \\uh - {u\h Hf/ Moll LhUh - Lh{u\b Ъ\ + E- IkhUh - Kh\u\h ф, ; подставляя сюда Lu = Д, luiab. - Чи и воспользовавшись определением pi{h), получаем (18). Если имеет место аппроксимация, т.е. /л(Л) -+ О, i -- О,..., к, p(h) -> О при /г -> О, то из (18) следует справедливость второго утверждения теоремы: u/i - [ ]/,(/ -> 0. В случае гладких регпений исследование аппроксимации схемы на решении является относительно несложной задачей и теорема Филиппова переносит центр тяжести на исследование устойчивости сеточной задачи. Часто случается, что сеточная задача устойчива в одной норме, согласованной с некоторой дифференциальной нормой, но неустойчива в другой. Так может, например, обстоять дело в случае норм, определяемых равенствами (14), (15). В случае гладких решений для практической приемлемости схемы обычно достаточно устойчивости в какой-либо согласованной норме. В случае разрывных решений к разностным аппроксимациям часто предъявляются некоторые дополнительные требования относительно поведения их решений вблизи мест разрыва решений; в этих случаях часто недостаточно устойчивости в произвольной согласованной норме. Например, требование устойчивости в определенных нормах предъявляется в отнопшпии аппроксимаций задач газовой динамики. Если выполняется условие согласования, то при гладких и, переходя к пределу в (16) при h -> О, получаем неравенство \\u\\v < MoIILkII. + Y М II ф,- (19) Из этого соотношения следует корректность постановки дифференциальной задачи (8), (9). Такой путь--получение оценок (16), а из них оценок (19)-используется для исследования корректности дифференциальных задач вида (8), (9), для доказательства существования и единственности их решений. Для решений таких систем типично наличие разрывов. В таких задачах в большинстве случаев отсутствует строгое исследование вопросов устойчивости разностных схем и сходимости, и реальный отбор разностных схем производится на примере простейших модельных задач, где его проще осуществить и теоретически, и путем численного эксперимента. Простейшими примерами, на которых производился отбор конечно-разностных методов решения задач газовой динамики, являются уравнения гн + = 0 (1) Щ+Ыи))=0. (2) Далее будут рассмотрены некоторые явные аппроксимации уравнения (1), а затем и (2). При практическом анализе разностных аппроксимаций задачи Коши для гиперболических и параболических уравнений часто руководствуются следующим критерием, называемым спектральным признаком устойчивости. Пусть на сетке с узлами (т, п) - точками (а;. t ) = (m/i, пт) - построена некоторая разностная схема, например /. Aj . = E <i5=0; (3) выпишем все частные решения уравнения Вин = О, имеюпще вид = (Л(<р)) е-. Спектральный признак устойчивости (СПУ). Еслг1 при заданн,о.м законе стремления шагов т и h к нулю существует С < оо, не зависящее от, т и h, такое, что \X{ip)\ 4 ef д.п.я, любых (р, (4) то разностная, схема .может быть пргшенена для, численного релиени.я соответствующей задачи Коши. В противно.м случае от при.м,енения разностной схемы следует воздержаться. В разумности СПУ можно убедиться, решив следующие задачи. Задача 1. Пусть определена какая-то норма на сеточном слое по времени такая, что номер слоя не входит в определение нормы. Этому условию удовлетворяют, например, нормы IICIUsupKI, (5) \\<\\п = yS = 0. но не удовлетворяет норма IhClln = sup?d. Пусть схема двухслойная и явная, т.е. имеет вид Ы(п.п)< + Т.<п+.,= 0 (7) и пусть СПУ не выполнен. Доказать, что ни для какого Т > О нельзя указать Q < оо такое, что нри всех пт Т выполнено соотношение Ш\п QlKJIo- Задача 2. Пусть т/h = const, разностная схема (3) двухслойная и явная, т.е. имеет вид (7), и начальные условия финитные, т.е. и = О при т > М. Доказать справедливость оценки при пт Т в случае нормы (6). Если краевая задача корректна и условие (4) выполнено, то, как правило, удается построить аппроксимацию граничного условия так, чтобы сеточная задача была устойчива (корректна). В то же время можно привести примеры задач Коши (для систем уравнений), где спектральный признак устойчивости выполнен, а сеточная задача пе удовлетворяет условию устойчивости (1.16). Исследуем при помощи спектрального признака устойчивость ряда сеточных аппроксимаций задачи Коши для уравнения щ + aux = О в полуплоскости < 0. Пример 1. Разностная аппроксимация -Ы п .п п -hUh\{m,n) =--- + -/- - О- ( ) Подставляем сюда it = Л ((,о) ехр {im(,o}: A (iy9) exp{im(p} - Х {ф) ex[:){hnip] т Л (у) exp{i(m + 1)у} - Л (у) exp{i(m - 1)у} 2h После сокращения на Л ((/5) ехр{1ш(/з} получим (см. рис. 10.2.1). На рис. 10.2.1-10.2.4 изображаются наборы узлов (шаблоны), по которым выписываются аппроксимации, и кривые, которые описывает точка X{p) на комплексной плоскости при 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 [167] 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |