Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [169] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

(22 \ 22

= 1 + -(2cos(p- 2-bsm2(p) + \ {cosip-lf

q22 22

< 1 -f -,(2 cos(p-2 + sin () -h -(cos - 1) =

= l-f (2 cos - 2 -b sin + cos - 2 cos -b 1) = 1.

Таким образом, при \ат1Ь\ 1 выполнено спектральное условие устойчивости.

Сделаем ряд общих замечаний.

1. Если ат/h = к нри т, /г -> О, то для всех выписанных аппроксимаций выполнялось соотношение

Л((р) = exp{-iK(p} + 0((р+),

где г -порядок аппроксимации по тик. Можно показать, что это условие является необходимым для того, чтобы имела место аппроксимация г-го порядка точности.

2. Если \ат/Н\ = 1 и а > О, то все рассмотренные аппроксимации имеют вид

Поскольку решение задачи есть и = щ{х - at), то в этих случаях они абсолютно точные; при этом Х{(р) = ехр{-i(ar i)(p} = е~.

3. В тех случаях, когда аппроксимации (10)-(13) некорректны вследствие СПУ, их можно было бы также забраковать при помощи теоремы Куранта.

4. В остальных случаях, т.е. для (10) нри О ат/h 1, для (11) нри -1 ar/h О и для (12), (13) при \ат/Щ < 1, их устойчивость следует из решения задачи 2.

5. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений (гл. 8, § 9) заслуживают внимания методы интегрирования с переменными шагами по времени, в ряде случаев являющиеся весьма эффективными.

При \ат/к\ 1 имеем (а?т/к) а?т/Ь?; поэтому можно написать цепочку соотногпений

2.2 \ 2 22

< оо.

и перавенство

8прЕ1</К рЕК1 (14)

если supj ° существует. т

Задача 4. Доказать, что при использовании этих аппроксимаций при любом п решение сеточной задачи монотонно по т, если монотонно v.

Это свойство монотонности делает схемы, удовлетворяющие условию (14), весьма удобными при интегрировании разрывных решений. Если при интегрировании разрывных решений употреблять аппроксимации, не обладающие таким свойством, то в разностном решении появляются паразитические волны, имитируюшие разрывы и иногда мешающие пониманию истинной картины явления.

Сделаем ряд замечаний по поводу практического употребления этих аппроксимаций. Исторически первой была аппроксимация (12); она обладает следующим недостатком.

Если мы подставим в разложение Тейлора и{х, f) в точке

(ш/г, пт), то получим

{Lh[u\h)\{rn,n) = TUttirnh, пт)/2 - {h/2T)uxx{mh, пт) + =

= (та2/2 - h/2T)uxximh, пт).

Условия т, h О еще недостаточно, чтобы эта схема аппроксимировала исходное уравнение. Необходимо еще добавить условие h/т ~> 0. Требование корректности \ат/Щ 1 и ряд других условий при решении сложных задач приводят к тому, что отношение h/т часто остается большим при малых т и h. Качественно это ухудшение аппроксимации проявляется в появлении вязкости аппроксимации: все неровности решения, включая разрывы, сильно выглаживаются.

В случае, когда коэффициент а меняет знак, возможно совместное использование схем (10), (11), когда используется та или иная схема в зависимости от знака а. Одна из наиболее распространенных схем решения задач газовой динамики (схема Годунова) использует именно эту идею.

Аппроксимация (13) эффективна в случае гладких решений, но при наличии разрывов дает большое число паразитических волн. Поэтому она подвергается модификации в областях больших градиентов решения.

Задача 3. Доказать, что аппроксимации (10) при О ат/h 1, (11) при -1 ат/h < О и (12) при ат г 1 обладают следующим свойством: для их решений выполняется неравенство

Рис. 10.2.5

На рис. 10.2.5 изображено поведение решений различных разностных аппроксимаций уравнения

{О, если ж < О, 1, если ж 1;

сплошной линией обозначено точное решение, о, х, - - полученные расчетные значения по схемам (10), (13) и третьего порядка соответственно.

Рассмотрим пример применения СПУ в случае решения системы уравнений.

Пусть решается задача Коши для системы уравнений

щ + avx = 0, vt + bux = 0, ah > 0;

условие ah > О обеспечивает гиперболичность системы.

Рассмотрим трехслойную разностную схему, аппроксимируюш,ую исходную задачу с погрешностью 0{h + т):

2т 2h .3.

2г 2h

После построения аппроксимаций (10)-(12) в применении к гиперболическим задачам долгое время казалось, что применение схем высокого порядка точности является неоправданным; такой вывод объяснялся тем, что все известные к тому времени аппроксимации второго порядка преврагцали разрывные решения в решения с большим числом паразитических волн.

Впоследствии теоретический анализ вопроса о качественных свойствах решений аппроксимаций при наличии разрывов показал, что этим свойством обладают все линейные аппроксимации второго порядка точности. Однако теоретические исследования предсказали, а практика подтвердила наличие аппроксимаций третьего порядка точности с удовлетворительным поведением решений разностных уравнений при наличии разрывов.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [169] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208