Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

нения ly - О, нахождение решения неоднородного уравнения сводится к решению аналогичных (4) разностных уравнений

C7,{n + l)-C/7i) = .9j(n),

где yj(ji) - известные фунгащи.

Перейдем к рассмотрению уравнений с постоянными коэффициентами

ly=Y}>AKx) = !i{x),

h + о,

и соответствующих однородных уравне1шй к

ly = J2iy()=- (7)

Займемся отысканием частных регаений однородного уравнения.

Подставляя в (7) предполагаемый вид частного регпения ехр(Л.г), получаем уравнение

2 ] bjA* ехр(Лж) = 0.

В случае уравнения (8) функцию ехр(Лп) удобно записывать в виде /г , ;i = expA. Подставляя ее в (8), получаем уравнение

Vi=o /

/i = 0.

Таким образом, каждому корню уравнения

ЕгУ = 0,

(10)

называемому характеристическим, соответствует частное решение

ехр(Аа;).

Если все корни характеристического уравнения простые, мы получаем к различных решений. Покажем, что каждому 5-кратному корню характеристического уравнения соответствуют s различных решений однородного уравнения

ехр(Аж), а;ехр(Аж),..., ж* ехр(Аж).

п 1 п-1 Г~,1

Пусть для определенности Ai = = А., pi = множители характеристический многочлен

= /is. Разложим на

i=o j=l

г=0 j=i

Зададимся действительным параметром е > О, £ -> 0.

Возьмем Xjs такие, что:

а) Xjs различны при j = 1,..., s;

б) стремятся к Xj при £ -> О для всех j к.

Возьмем такие, что:

а) различны при j = 1,..., s;

б) стремятся к fij при £ -> О для всех j к.

Образуем характеристические уравнения, соответствующие этим корням:

0 = bfc[]{A-A ) = bi,A.

О = ак П(м - iJ-je) = снф\ :i=i i=o

Ясно, что

he h

air -> а.:

при £ -> 0.

Этим характеристическим уравнениям соответствуют уравнения

J2hsyP{x) = 0. (12)

yais4js{n + i) = 0.

(13)

Пусть при £ > О мы можем указать решения

Уе{х) уравнения (12) такие, что при любом ж О существует предел

limy,{x) = Y{x),

причем Уе{х) сходится к Y(x) равномерно вместе со всеми производными до порядка к включительно на любом конечном отрезке [xi, жг]. Переходя к пределу в (12) с учетом (11), получаем, что предельная функщая Y{x) удовлетворяет уравнению (7).

Построим такие последовательности Уе{х) и г/е(п), которые будут сходиться к частным решениям (7), (8), соответствующим кратным корням.

У£(п) уравнения (13) такие, что при любом п О существует предел

lim уе(п) = У(п).

Переходя к пределу в (13) с учетом (И), получаем, что предельная функщш У{п) удовлетворяет уравнению (8).

При проведении этих построений удобно использовать разделенные разности. Рассмотрим сначала случай двукратного корня. Положим

У2£{х) = exp(Aa;)(Ai£; Хе) =

ехр(А2вГг) - ехр{Хих)

У2е{п) = мЧМ1в; М2е) = fJ-2e - Ile

Эти функции являются решениями соответственно уравнений (12), (13). Запишем их в виде

У2Л) =a;exp(Aua;) х

x еР((А2Е - А1е)ж) - 1 (А2е - Хи)х

Переходя к пределу при е -> О, получим

?/2сН =/2е +/4 +

(14)

?/2£(а:) -> . exp(Aia-).

В результате мы построили второе линейно независимое решение, со-ответствуюгцее двукратному корню.

Случай корня более высокой кратности рассмотридМ лишь д.т1я уравнения (1). Согласно (4.3) имеем

y<je = fiifhe-,--- \Pqs) =Е

Как линейная комбинация функций /х, функция у, является решением уравнения (13). Аналогично (14) непосредственно устанавливается, тго

niH------n,=Ji+l-(/

Общее число слагаемых равно , поэтому

Поскольку в случае s-кратного корня можно взять q = 1,..., s, то получилось S частных решений

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [17] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208