Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Ищем частное решение системы в виде

После подстановки этих выражений в (15) получим

А2-1

171-1 imvp

А2-1

+ 2с2аА

18Ш(

+ 2Ьс1А

isiniN

и, следовательно,

А - 1 i sin

Ci--h 2аС2Л-;;- = О,

.1 sm (j9 2cibA--- + C2

A2-1

= 0.

h - T

Эта система линейных уравнений относительно коэффициентов cj, С2 имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю. Получаем уравнение, связывающее X w. ip:

( У? -\ Ха- 21 sin (р \

Xb 21 sin ip A - 1

= 0.

Отсюда

2 4abshi(p

A2±21\/absin(,ffA- 1=0. h

Таким образом, окончательно

А = tIv ab - sin < i у -ob sin ip+ 1. Если abr/h 1, то подкоренное выражение неотрицательно и

2 /2 \

А = abj sin ip+ ( - -bj sin </5 + 1 j = 1-Таким образом, при у/аЬт/к 1 СПУ выполнен.

Задача 5. Показать, что при у/аЬ - к = const > 1 СПУ не выполнен.

Задача 6. С помопщю теоремы об областях зависимости показать, что

при Vab- - к - const > 1 решение сеточной задачи не обязательно h

сходится к решению дифференциальной задачи.

Пусть в области О т М ищется функция удовлетворяющая

(3) и некоторым граничным условиям

Liun=0 (16)

относительно значений при тп, близких к нулю, и

Lluh = О (17)

относительно значений нри тп, близких к М.

Примечание. Число уравнений относительно значений и, на каждом слое берется равным числу неизвестных М + 1, поэтому некоторые из уравнений (3) отбрасываются.

Для краевых сеточных задач с постоянными коэффициентами также имеется СПУ, часто позволяющий довольно просто отбраковать непригодные для счета разностные схемы. Можно показать, что разностная схема, не удовлетворяющая этому СПУ, неустойчива.

Этот СПУ заключается в следующем.

1. Должен быть выполнен спектральный признак устойчивости задачи Коши (отличный от сформулированного ранее). Ишутся всевозможные частные решения (3) вида

Кг = AVrn, (18)

\\ip\\0 = sup \iprn\ < оо. (19)

-oo<m<oo

СПУ задачи Коши состоит в том, что при заданном законе стремления т, h к нулю

Ш sup А < 1; (20)

llvlo<oo

обозначение sup введено с целью подчеркнуть еще раз, что верхняя

llvlo<oo

грань берется по множеству всех решений (18), удовлетворяющих условию (19).

2. Должно быть выполнено условие спектральной услойчивости левой краевой задачи, состоящее в следующем.

Рассмотрим левую краевую задачу

hUh\{m,n) = о при о < тп < оо, Ь1щ. = О

(с учетом примечания) и находим ее частные решения вида Kl = vm, WflU = sup < ОС.

0<m<oo

- (2-КА-1))/х-И = 0. (24)

СПУ левой краевой задачи имеет вид, аналогичный (20):

im sup А < 1. (2Г)

Ы\+<оо

3. Точно так же рассматривается правая краевая задача

Llh = О при - оо < т 4 Af, LlUb - 0.

Ищутся ее частные решения вида и , = Усрт такие, что

\\ip\\- = sup \ipm\ < ОО. СПУ правой краевой задачи имеет вид

im sup Л < 1. (21 )

М!-<аэ

Заметим, что замена неизвестной переменной т = М - т, переводит левую краевую задачу в правую и наоборот и соответственно преобразуются друг в друга СПУ левой и правой задач.

Пример 5. Рассмотрим сеточную краевую задачу

п-<. <+.-2< + <,. 0< <М, Mh = l,

(22)

Эта задача аппроксимирует дифференциальное уравнение

Uf, - Uxx = О при О < ж < 1

с краевыми условиями Ux{Q, t) = О, и{1, t) = 0.

Исследуем спектральную устойчивость сеточной задачи в предположении, что т/Ь? = к = const при стремлении г, h к нулю.

1. СПУ задачи Коши. Ищем частные решения вида = УРт-После подстановки в (22) и сокращения на А получаем уравнение

А - 1 <m-t 1 - 2ipjn + Vm-l - --- =0

или, что то же самое,

ifm+i -(2 +{Х- 1)- ifrn + frn-i = 0. (23)

Функция является решением одномерного конечно-разностного уравнения с постоянными коэффициентами (23), поэтому ipm ~ + C2l-L, где ц\2 - корни характеристического уравнения

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208