|
| |
|
Слаботочка Книги имеем соотношения iv9+ = l И А = 1 + />1. Следовательно, СПУ этой задачи не выполнен и следует взять другую аппроксимацию граничного условия и,; = О в точке 0. Задача 7. Доказать, что аппроксимация граничного условия соответствует левой краевой задаче, удовлетворяющей СПУ. Пример 6. Рассмотрим правую краевую задачу. Как и в случае задачи Коши, получаем совокупность частных решений вида = Xpm, <Рш = CiJJ,T + С2/7, Согласно теореме Виета ni 1.1,2 = 1, поэтому < , = cuiT + С2РГ - Для ограниченности \\ip\\o при всех ci, С2 необходимо, чтобы 1/7,11 = 1. Полагая /7,1 = е , из (24) получаем Если к - r/h 1/2, то supA = 1 и СПУ задачи Коши выполнен. В противном случае он не выполнен. 2. Спектральную неустойчивость левой краевой задачи мы докажем, угадав последовательность частных решений С = А < г с < + < оо таких, что lim А > 1. Иш,ем решение левой краевой задачи в ви- т, h->0 де и, = А . Подставляя и]. в (22) и сокраш,ая на А /7 \ получим Подставляя wJj в левое граничное условие (22), получим уравнение 1 - 4/7 + 3/7 = 0. Его корни /ii = 1, Ц2 = -, корню 1.12 = согласно (25), со-о о 4т 4 ответствует А = 1 -)---тт = 1 ---к. Для этого частного решения 3/г 3 Ищем частные решения вида и = А е ; после подстановки такого представления в (27) получим (т т . \ ~1 1 + а~ - a-e~j . где А и /X связаны соотношением (25), причем, как и там, /xi/U2 = 1. Удобно представлять функцию (, в виде Г< т-М I ,т-М Из правого граничного условия (22) получаем (д/= Ci + С2 = О, поэтому (frn = Ci{/i~ -i.i). Если > 1, то /л2 < 1, и наоборот; в обоих этих случаях ipm -> 00 при т -> - оо. Поэтому нас интересуют лишь решения с = /у,2 = 1- Тогда /ii = е , /Л2 = e~ и x 1 4т . 2 </5 A = l-sm Как и в случае задачи Коши, получаем, что СПУ выполнен при к = Tlh < 1/2. Рассмотренные выше разностные схемы относятся к классу явных; значения решения на верхнем слое вычисляются по значениям решения на нижних слоях по формулам вида (ср. с (7)): к ограничено при h -+ 0. Если в разностное уравнение входят не менее чем два значения решения на верхнем слое, то такую схему относят к классу неявных схем. В этом случае значения сеточного решения на верхнем слое находят, решая некоторую систему уравнений Cu +i = F(u , /). (26) В случае, когда матрица С треугольная (а при решении систем уравнений в частных производных блочно-треугольная), разностную схему назьшают полу-явпой. Таким образом, полуявные схемы составляют подкласс неявных (С - треугольная матрица), а явные - подкласс полуявных (С- единичная матрица) разностных схем. В случае неявных (в частности полуявных) схем возникает вопрос о построении алгоритма решения системы уравнений (26), устойчивых к влиянию вьпшсли-тельной погрешности. Рассмотрим простейшую полуявную схему для уравнения щ + aUx = 0: <+-<.<-- ГЛР (27) Задача 8. Пусть а= sup А((). Показать, что 1) ст < 1 при а 0; 2) сг 1 при а- - 1,- 3) сг = -,-- > 1 при а- = к = const, - 1 < к < 0. \2к - 1 h Таким образом, СПУ пе выполнен при - 1 < к < 0. В реальных вычислениях всегда участвует конечное число значений uj}+, соответствующих {п + 1)-му слою. Если мы выпишем уравнение (27) при m = 1,..., М, то получим систему из М уравнений относительно {М + 1)-го неизвестных Ио\ , и/. Рассмотрим случай, когда решение ищется в прямоугольнике ОхХ = Mh, OtT. Функция и{х, t) = ф{х - at) является решением уравнения щ + аи = 0. Если а = О, то решение однозначно определяется заданием начальных усло-вшЧ и{х, 0) = 1Ло(ж); при а > О для нахождения решения достаточно задать и(х, 0) и и{0, t); при а < О -задать и{х, 0) и и(Х, t). В случае о > О из граничных условий нам известно также, что Uq = и{0, {п + 1)г) и, таким образом, число уравненшЧ равно числу неизвестных. Уравнение (27) можно представить в виде рекуррентной формулы для определения m j * : =-)-а£=, т = 1,...,М. (28) 1 + к 1+к h Если содержит некоторую погрешность 6 , то вследствие (28) она по- рождает погрешность (5 + в wJJ, равную ---пЙ- а О имеем к О L + к и О - < 1. Таким образом, < <т-\1 погрешности в значени- ях убывают и можно ожидать, что при вычислениях по формулам (28) накопление погрешности не приведет к нежелательным последствиям. В случае я < О известно значение = и{Х, {п + 1)т), и вычисления будем вести по рекуррентной формуле, вытекающей из (27): <t\ = (l + ) Г - т = М,...,1. (29) Если к-1, то01---<1и погрешность 6+ в значении и породит погрешность = 1-1-- 6 такую, что liilil < \\- Таким обра- зом, следует ожидать, что накопление вычислительной погрешности не будет существенным. Замечание. Для расчетной формулы (28) соотношение \6\ выпол- нено и при -1/2 к < О, а для формулы (29) соотношение (5,t\ т Ч 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [171] 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |