|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [172] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 г/2 2/1 далее используется явная формула +1 , +1/2 п+1/2 3 -+ а , = 0. Рассмотрим случай той же самой задачи Коши. Если мы выпишем уравнение (30) при т = 1,..., М - 1, то получим систему [М - 1)-го уравнения с (Л/+ 1)-м неизвестным. На каждом слое нам не хватает двух уравнений. Значения Uq зададим как и ранее, используя граничные значения, а ы-1ю произволу. Систему уравнений (30) относительно значений и ,..., будем решать методом прогонки. Можно показать, что при гладкой функции Uo{x) и любом е > О решение сеточ-Hoii задачи сходится к решению дифференциальной в области, определяемой неравенствами at + e х Xo + at-e, OtT. Для улучшения сходимости вместо задания часто целесообразнее взять так называемое мягкое граничное условие - и = 0. выполнено и при -1 < к -1/2. В этих случаях, однако, не выполнен спектральный признак устойчивости <т = sup A(v3) < 1. Предположим, что в области t нас интересует решение задачи Коши прп начальном условии и{х, 0) = uo{x), определенном при О х Xq и а > 0. Решение дифференциа.т1ьной задачи определено в no.iioce at х Хо + a.t. Рассмотрим краевую задачу в прямоугольнике О х Л = Xo+at, О t Т, задав произвольные гладкие функции и(0, t) при О t Т и и{х. 0) при Хо X X, удовлетворяюшие условиям согласования (i(0, 0) = uo{0) и Ыо(Хо) = и{Хо, 0). Применим для решения этой задачи полуявную схему (27), проводя вычисления на верхнем слое по рекуррентным формулам (28). Можно показать, что при гладкой функции Uo{x) в области at х Xq + at, О t напученное сеточное решение будет близко к решению задачи Коши. При решении задачи Коши и краевых задач, особенно в случае систем уравнений, часто используется неявная схема т iii с порядком аппроксимации 0{т + К). Иногда эта схема используется как вспомогательная для получения решения на иолуцелом слое, т.е. находятся w , из соотношений § 3. Принцип замороженных коэффициентов Часто не удается произвести теоретическое исследование корректности разностной задачи и доказать сходимость ее решения к решению дифференциальной задачи. В некоторых случаях на данном этапе развития математической теории такое исследование в принципе возможно, но требует от исследователя достаточно высокой квалификации и больших затрат времени. В такой ситуации иногда ограничиваются исследованием устойчивости схем на основе описываемого ниже причщипа замороженных коэффициентов и последующей экспериментальной проверкой полученных выводов путем расчета тестовых задач, по возможности с известным решением. Принцип замороженных коэффициентов (ПЗК) заключается в следу-щем. 1. Для разностной схемы пишется уравнение в вариациях (т. е. уравнение, которому удовлетворяет разность двух бесконечно близких решений). Это уравнение является линейным и в случае линейных задач совпадает с исходным уравнением. 2. Фиксируется некоторая точка Р области G и замораживаются коэффициенты этого уравнения, т. е. все значения коэффициентов уравнения в вариациях берутся равными их зна1ениям в этой точке. Если задача нелинейная, то коэффициенты уравнения в вариациях зависят от неизвестной функции и все значения сеточного решения, входящие в это уравпение, берутся хэавными их значениям в той же точке Р. 3. Получившаяся сеточная задача L{8uh) = О исследуется на устойчивость методами, которые применяются для исследования устойчивости сетючных задач с постоянными коэффициентами. Предположим, что сеточная задача устойчива при выполнении условия (p{h, Р) О (1) на шаги сетки; это условие, естественно, может зависеть от выбора toi-ки Р. 4. За условие устойчивости принимают некоторое условие <(/i) О, из выполнения которого следует выполнение условия <(/i, Р) О для всех точек Р Е G. Часто, особенно в случае нелинейных задач, условие устойчивости tp{h) О выбирается с некоторым запасом устойчивости . Рассмотрим пример применения принципа замороженных коэффициентов. Пусть решается задача Коши для уравнения Щ + Ых, t, и))х - ip{x, t,u) = 0 (2) {mh, пт, < + - v9((m - l)h, пт, + 6,) Вычитая из этого равенства соотношение (3), получим С+-С , pi7nh,nт,u-, + 6l)~ip{mh,nт,C) т h {{ш - l)h, пт, - б!;, ,) - срЦт - i)h, пт, (4) - {ip{mh, пт, + 6 ;) - {rnh, пт, ull,)) = 0. С точностью до членов второго порядка малости по величинам выполнены приближенные равенства (p{mh, пт, + 6т) - <{>{rnh, пт, и г) ~ 4>u{mh, пт, m J<5 ip{{m - l)h, пт, + 6l! i) - ifiim - l)h, пт, u/i) a ipn{{m - l)h, пт, rPimh, пт, < + 6l,J - Tp{mh, пт, <J xPu{mh, пт, иЖ,. Таким образом, бесконечно малое прираш,ение решения 6, его так называемая вариация, удовлетворяет уравнению с--с I и{гп}1,пт,иж-м{т-тпт,и, Жп-1 --4>u{nih, ПТ,иЖг = \ это уравнение называется уравнением в вариациях для (4). Заморозим коэффициенты, взяв все значения и -фи равными их значениям в некоторой точке - + а -f-i - Ь5 = 0. (5) Т lb при начальном условии и{х, 0) = ио{х). Через будем обозначать приближение к значению решения в точке (ж, t) = {mh, пт). Аппроксимируем уравнение (2) разностной схемой !Ciz< + (m/bnr,0-((m-l)h,nr,< ,) т h Пусть -f ( j - другое решение сеточной задачи (3), т.е. (JJj -раз- ность между двумя решениями задачи (3). Имеем равенство (получаемое при подстановке в (3)): + - {Кг + К) п ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [172] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |