|
| |
|
Слаботочка Книги Отсюда имеем равенство и затем оценку C+maxCl(l- +H + x)-Поскольку (6) выполнено при всех т, то nC <,K(:-!5I + N + ). Положим max(5JJj = <5 с- Соотношение (6) переписывается в виде 1Г+с(1- + Н + х) WWc Если О - 1, то п + \Ьт\ + Таким образом, ) + Ьт = 1 + Ьт ell Пользуясь (7), получаем соотношения \\S\\ce\-\\S\\c, \\S4ce\ns4ce\\-\\6\\c, <5celni 5 licellni 5°ilc. На ограниченном промежутке времени при пт Г имеем \\n\ce\S\\c, т. е. разностная задача устойчива по начальным данным. Устойчивость разностной схемы (5) доказана при условии О а- 1. В соответствии с ПЗК постулируется, что исходная разностная схема (3) должна быть устойчива при условии О a{mh, пт, и) - Для данной разностной схемы (3) можно показать, что это условие является достаточным для ее практической пригодности при малых т. В тех случаях, когда не удается строго обосновать устойчивость разностной задачи, рекомендуется создавать запас устойчивости , сужая § 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями Рассмотрим задачу Коши для уравнения ди ди , при начальном условии ио{х) = 1 при X < О, О при а; 0. область изменения параметров схемы по сравнению с той, которая получается из принципа замороженных коэс}зс}зициентов. Например, в данном случае вместо (8) рекомендовалось бы взять устювие О < к а- 1 - к. /1 Величина требуемого сужения подбирается из численного эксперимента. Примеры сужения области устойчивости для различных схем: в 1 раз (сужение не производится); в 1,15 раза; в 1,3 раза; в 1,5 раза; в 2 раза. Заранее неизвестно, в какой области находятся значения решения сеточной задачи и, поэтому до реального решения сеточной задачи нельзя выбрать шаг т таким, чтобы при всех гп, п выполнялось устювие устойчивости (8). В частности, в связи с этим при решении нестационарных задач шаг по времени часто берется переменным: ищутся приближения ик значениям решения в точках {mh, t); шаг t,i = -t зависит от п. При каждом п вычисляются А\ = inf а(т/г, i , u), = supa(m/i, u]\). Если оказалось, что A} < О, то счет по этой схеме прекращается, поскольку ИИ при каком т > О не удается добиться удовлетворения условия О a{mh, tn, Um)J при всех т. Если > О, то шаг г = tn+i - tn выбирают таким, чтобы выполнялось условие AT,Jh 1. Для линейных и слаболинейных задач во всех известных случаях, когда было проведено строгое исследование устойчивости и коэс5фици-енты уравнения удовлетворяли условию Липшица по всем переменным, имел место следующий факт: если выполнялся критерий устойчивости по ПЗК, то схема действительно была устойчива. при начальных условиях 1 1 при т < О, , ,о - 0 при ?п > и. Нетрудно убедиться, что при т = h решением задачи (2), (5) является 1 при т < О, О при тп > 0; решением задачи (3), (5) является 1 при гп - п < О, О при т - п 0. Решение задачи (4), (5) не выписывается в явном виде. При т = h из (4) имеем < = <-l{b rf~iK.if)- (6) Непосредственно вычисляя значения и, можно убедиться, что 1 при т - п/2 < О, \т- п/2\ > 1, 0 при т - п/2 > О, \т- п/2\ 1. Более точные теоретические оценки показывают, что 1 + OCqI - /!) при m-n/2--oo, О + 0(д1 - /2) при jn-n/2-у оо, где q < 1; следовательно, решение сеточной задачи (4), (5) близко к разрывной функции 1, x-t/2< О, о, x-t/2>0. Таким образом, решения различных разностных задач, аппроксимиру-ющих на гладком решении одну и ту же дифференциальную задачу, в Эта задача не имеет непрерывного решения, поэтому разностная задача в обычном смысле не аппроксимтгрует дис}зференциальную. Однако тем не менее рассмотрим разностные аппроксимации этой задачи -+<!=- = 0, (2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 [173] 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |