|
| |
|
Слаботочка Книги udt-udx =0; (7) здесь Г -граница области G. Если умножить уравнение (1) на. и и проинтегрировать по области G, то получим 15n2 1ди / 7-77- Н---Я- dxdt = О Jg \2 dt 3 дх J -dt--dxj=(). (8) Если для гладкой функции и{х, t) выполнены условия (7) или (8) для любого контура Г, то эти условия равносильны. Дело обстоит иначе в случае разрывной и{х, t). Если и{х, t) - кусочно-гладкая с1зункция, то из (7) можно получить, что в области гладкости с}зункция г* является решением уравнения (1), а вдоль линии разрыва X{t) выполнено соотношение dX U+ + ii Ж [и] ~ 2 здесь U{x,t)= lim fix+8, t), e>0,e->0 / (ж, t) = Jm /(a: - £, t), [/] =f++ /-. Точно так же из (8) следует, что в области гладкости функция и является решением уравнения (1), а вдоль линии разрыва вьшолнено соотношение dX [ii/3] 2(ц. Itt [u2/2] ~ 3(г*+ -Ь г* ) Из вьппесказанного видно, что для сходимости решения разностной задачи к разрывному решению уравнения (1) существенно определенное случае разрывного решения могут сходиться к различным пределам при стремлении шагов сетки к нулю. Заметим, что само решение такой дис}з-ференциальной задачи также не определено однозначно, пока ничего не сказано о том, как проходит линия разрыва решения. В наиболее типичных случаях условия на линии разрыва являются следствием интегральных законов сохранения, из которых возникла данная дифференциальная задача. Пусть ii~ гладкое решение уравнения (1); интегрируя (1) по переменным (ж, t) по некоторой области G, получим Здесь разностная схема записывается в виде линейной комбинации выражений (9) лишь на заключительном шаге. соответствие между разностной задачей и законом сохранения, соответствующим дифференциальной задаче. Соображения здравого смысла, численный эксперимент и теоретические оценки погрешности для случая одной неизвестной функции показали, что разностная схема должна обладать свойством дивергентности. Первоначально это свойство формулировалось в следующем виде: если ищется решение уравнения dip{x, i, и) дф{х. t, и) di дх соответствующее закону сохранения J{фсИ - (р(1х) = О, то левая часть разностной схемы должна являться линейной комбинацией выражений (р{Хт, tn, {Хт, tn, U) (9) или близких к ним. Например, разностная схема (4) удовлетворяет условию дивергентности по отношению к закону сохранения (7). По отношению к закону сохранения (8) условию дивергентности удовлетворяет разностная схема 2т 3/1 Впоследствии оказалось, что условие дивергентности допускает существенное расширение. Например, такому расширенному условию дивергентности по отношению к уравнению ut + {ip{u))x = О удовлетворяет следующая разностная схема. Сначала делается полушаг п+1/2 Кг+1+Ki -т-[-2-) -h- а затем полный шаг по формуле (mh, пт) u{mh, пт) - u{mh, {п - 1)т) {тк,пт) В зависимости от способа аппроксимации будут получаться различные разностные схемы. Вторую производную по переменной х заменим обычным способом: и{{т - 1)/? пт) - 2u{mh, пт) + и{(т + l)h, пт) Подставляя эти соотношения вместо соответствующих производных в (1), получим - < m-l - 2< + h (3) т=1,...,М-1, п = 0,..., Л-1; <-\-2щт + + и-Х\ т - (4) т = 1,...,М-1, п = 0,..., N-I; § 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения После того как мы познакомились с вопросами устойчивости и сходимости для гиперболических задач на нестрогом уровне, перейдем к исследованию разностных схем для параболического уравнения в случае одной пространственной переменной на математическом уровне строгости. Пусть требуется найти с}зункцию и(х, t), являющуюся решением уравнения 9 --/(-) W в области Qt = [О, X] X [О, Т] с начальными и краевыми устювиями и{х, 0) = г*о(а;), и{0, t) = и(Х, t) = ,i2[t). (2) Всюду далее будем считать, что с1зункции /, fij и uq таковы, что существует достаточно гладкое решение задачи (1), (2). При построении разностной схемы поступим так же, как и ранее. Разобьем исходную область Qt пря.моугольной сеткой с шагами h = Х/М, т = r/JV соответственно по координатам х и t. Будем искать функцию vf, определенную в узлах (гп, п) сетки (Зл,т = {[mh, пт) : О m М, O-nN}, которая является приближением с1зункции и в Ол,г- Обозначим, как и ранее, u{mh, пт) = и- Заменим производные в (1) разностными отношениями. Производная du/dt в точке {mh, пт) может быть затушнена разностным отношением многими способами, например u{mh, (п -Ь 1)т) - u{mh, пт) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 [174] 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |