|
| |
|
Слаботочка Книги (вторая схема получена после переобозначения п п + 1). Функция ifW, является аппроксимацией /(ж, t). Кроме уравнения (1) необходимо аппроксимировать начальные и граничные условия. Положим Кп = щ{тк), По = /ii(nT), пд./ = Ц2{пт). Таким образом, уравнения (3), (5) и (4), (5) соответствуют некоторым разностным аппроксимациям краевой задачи для параболического уравнения (1), (2). Найдем порядок погрешности аппроксимации разностной схемы (3), (5). Для этого подставим в (3) точное решение дифс1зере1П1,иальной задачи. Так как и{х. пт + т} - и(х, пт) т ди (х. пт) + 2dt о т. i((m - l)/i, t) - 2u{mh, t) + иЦгп + l)h, t) (mh, I) /l2 d4j,\ , 01] h. \(mh+j],t) u{x, t + т) - u{x, t) u{x - h, t) - 2u{x, t) + u{x + h, t) du du - p(x, t) = dt Ox- 2 dfi (, ,) = f{x, t)-(pix, t) + 0{h + T). 12 dxA (x+n, t) Таким образом, если положить = f{rnh, пт), то порядок погрешности аппроксимации разностной схемы (3), (5) будет 0{h + т) (граничные и начальные условия выполнены точно). Аналогично устанавливается, что порядок погрешности аппроксимации схемой (4), (5) задачи (1), (2) также равен 0(/i + т). Между схемами (3), (5) и (4), (5), однако, имеется принципиальная разница. Выясним ее суть. Из (3) следует соотношение В силу того что значения и известны, из (6) можно найти значения и} {т = I,..., М - I) и т.д. Поэтому по известным значениям решение и на следуюш,ем временном слое находится с помош,ью явных формул (6). Поэтому схема (3), (5) называется явной. Преобразуя (4), имеем - ГЛ + (l + - Ь<+1 =<+ = 1, , М - 1; <+1 = = /.i((n + 1)г), <1 = /4+ = /.2((п + 1)г). При известных и, т = 1,..., М-1, соотношения (7) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных m = 1,..., М - 1. Поэтому схема (4), (5) называется неявной. Система линейных уравнений (7) относительно вектора неизвестных v = (li * ,..., и\) может быть записана в виде Алг = Ъ, где матрица А и вектор правой части b имеют вид
1 2т 2 /с М - 2, А,- = 1, А,- = М - 1. Для решения этой системы можно воспользоваться, например, методом прогонки, описанным в предыдуш;ей главе. Проведем исследование устойчивости этих разностных схем. Множество узлов вида (т, п), m = О,..., М, будем называть п-м слоем. Пусть - сужение с1зункции и на п-й слой, а с/р - сужение правой части (р на внутренние узлы п-го слоя. Введем нормы на слое = max К, Ш = max Ш. ОтМ 0<тп<М Разностную схему будем называть устойчивой в сеточной норме пространства С, если сугцествует постоянная ci, не зависящая от шагов сетки h и г, такая, что имеет место оценка max ci( max -bmaxi max l/i?!, max bj, П . Исследуем вначале устойчивость явной схемы (3), (5). Имеет место Теорема 1. Пусть т /2. Тогда разностная схема (3), (5) устойчива в сеточной норме пространства С. Доказательство. Перепишем (3) в виде = (1 - 2рХ + + ри, + т<, где p = TJh. Если max( j ( достигается во внутренней точке (то, п + 1), то шах г*+ = шах (1 - 2р)и + Kn-i + Р<г+1 + V-n, \ (1 - 2р) \\и% + 2р\\и\\ + = \\иЦ + тШ. В противном случае mxK+iKmax(K+, /7+М) Отсюда следует оценка \\и-+\\ шах {\р\ \рГ\ + r\\v4] , (9) связывающая нормы функции на соседних слоях. Представим теперь решение К задачи (3), (5) в виде и = y + -о*, где у*-решение задачи (3), (5) с правой частью (р = О, а г -решение задачи (3), (5) с однородными граничными и начальными условиями. В силу оценки (9) для у имеем b +Kmax шах /х, шах \р1 \ЬП\\ maxJ шах lul, max I/JoI, I. {okN okN J С другой стороны, для в силу той же оценки (9) получаем <Ё-Ик --Л если (п + 1)т Т. Таким образом, окончательно имеем 1К1111у 11 + 1К11< Так как это неравенство справедливо при любом п, О п N, то это и означает устойчивость разностной схемы в сеточной норме пространства С. Теорема доказана. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 [175] 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |