|
| |
|
Слаботочка Книги (Этот вывод можно было бы сделать, непосредственно используя соотношение (9) и не вводя в рассмотрение функции и v\) Отметим, что постоянная в (8) получилась в данном случае зависяш,ей от Т. Если т/h? = к = const, то условие к 1/2 является необходимым и достаточным условием устойчивости. Задача 1. Пусть lim -= оо. Доказать, что схема (3), (5) не- h,t->0 Г устойчива. Указание. Рассмотреть частные решения Щп = \ sm -Y-1- Доказательство устойчивости разностной схемы (3), (5) было получено при соотношении па шаги сетки т Разностные схемы, которые обладают устойчивостью лишь при определенных соотношениях па шаги сетки, называются условно устойчивы.ми. Соответственно, если схема устойчива при любых сотношениях между шагами сетки, то такая схема называется безусмювно устойчивой. Покажем, что схема (4), (5) относится к классу безусловно устойчивых схем. Справедлива Теорема 2. При любых h и т д.ля решения задачи (4), (5) имеет лгесто оценка (8). Доказательство. По аналогии с доказательством предыдугцей теоремы преобразуем (4) к виду <t + Pi-Ct\ + 2гС ~ ulW) = < + г<+\ 1 m М - 1. (10) Из всех значений и, по модулю равных г* +Ч, возьмем то, у которого индекс m принимает наименьшее значение. Если m = О или же т, = М, то (9) выполнено. Пусть теперь гп отлично от О и М. Поскольку \и\ > Mjt.\ (по определению т) и \и\ то \2ul+l > lu!t\l + \nl\\\; поэтому sign(2<+i - ut\ - n\\) = sign<+ Тогда ii !! = Ki \<-+p(-:;-\+2u - ut\) = K-fr<riK-l-r< +4l; при любых h VL т для схемы (4), (5) получена оценка (9). Завершение доказательства теоремы совпадает с доказательством предыдуш,ей теоремы. Таким образом, схема (4), (5) является безусловно устойчивой. Между явной (3), (5) и неявной (4), (5) схемами имеется, таким образом, принципиальное отличие. Явной схеме соответствуют явные формулы для вычисления функции на слое по известным значениям на преды-дупщх слоях. Однако эта схема является условно устойчивой. Это приводит к тому, что при малом шаге h мы вынуждены выбирать слишком мелкий шаг по времени (г /2), чтобы обеспечить устойчивость. Это, в свою очередь, приводит к значительному увеличению затрат времени счета на ЭВМ и не может быть оправдано требованиями точности, если по временной переменной t решетпге достаточно гладкое. С другой стороны, нри использовании неявной схемы можно значительно увеличить шаг но времени т, однако при переходе от слоя к слюю требуется каждый раз решать систему уравнений. Впрочем, в одномерном случае это не представляет проблемы. В частности, испсшьзуя метод прогонки, можно получить при известном и за 0{М) операций, т.е. количе- ство арифметических операций при переходе от слоя к слою по порядку будет тем же, что и в случае явной схемы. Это позволяет сделать вывод о том, что использование неявных схем в одномерном случае часто является бсшее предпочтительным, так как ведет к уменьшению затрат времени счета на ЭВМ. Перейдем теперь к исследовагшю устойчивости разностных схем (3), (5) и (4), (5) в других нормах, в частности в сеточных аналогах норм L2 и W2 по слою. Так как исследовагше свойств схем (3), (5) и (4), (5) проводится по одной и той же методике, то имеет смысл объединить эти две схемы. Как и ранее, для наглядности сопоставим разностной схеме ее шаблон. В нашем случае для схем (3), (5) и (4), (5) 1паблоны имеют вид, изображенный соответственно па рис. 10.5.1 и 10.5.2. (т-1,п+1) (т,п+1) (m+l,n+l) (т-\,п) (т,п) (т+1,п) Рис. 10.5.1 (т,п) Рис. 10.5.2 Пусть ti -функция, определенная на слое и принимаюпдая в т-м узле значение Обозначим Av = {vm+i - 2vm + Vm-i)/h, = и{х+ h, t) - 2u{x, t) + u{x - h, t). Введем более общий, чем (З), (5) и (4), (5), вид схемы 4П+1 .п = аАи + (1 - а)Л< m = 1,..., М - 1. (т-1,п+1) {т,п+1) (т+1,п+1) Постоянная а в (11) называется весом и обычно берется в пределах О сг 1. В частности, при сг = О выражение (11) переходит в (3) , а при сг = 1 получаем (4). Разностную схему (11), (5) называют схемой с весами. Она имеет шеститочечный шаблон при сг G (О, 1) (рис. 10.5.3). Схема (11), (5) является явной лишь при сг = 0. Разностную схему (4), (5), чтобы отличить ее от других неявных схем вида (11) с О < а < 1, называют чистю неявной схемой. Пусть (m-l,n) (т,п) (m+l,n) Рис. 10.5.3 -аЛи:+1-(1-а)Л<. Как и выше, назовем величину (12) где -значения решения в узлах сетки Qh,T, погреитостмо аппроксимации разностной схемы (11) уравнения (1). Заметим, что граничные и начальные условия для функции и- выполняются точно. Используя разложение и в ряд Тейлора в точке (х, / + т/2) = (mh, пт + т/2), имеем и(х, i + т) - и{х, t) ди (x,t+T/2) 24 dt = Ки ,тди ix.t+i) 2л {хЛ+1) (.T,t+f) 2 dt (,t+i) + 0(t2 + /i4). Отсюда (m,n) \ 2/ -<р + г(а-0,5)Л (ж, t-l-f + <9(г2 + /.2) Таким образом, если /(ж, i + г/2), то г = 0{h? + т) при и ф 0,5 и г 0{h + г2) при а = 0,5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [176] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |