|
| |
|
Слаботочка Книги о 2 (к sm . Из равенств 2 . irkmh . Trkmh о Л sm = -щ sm , ik =--, следует, что числа -i/ являются собственными значениями оператора Л. Из (И) получаем {Е - атА)и = {Е + т{1 - а)А)К, т.е. S {Е-атА)~{Е + т(1 - о-)Л). Поэтому 1 f- . 7rk(mh)\ 1 - т(1 - a)vk . Trkimh) m = 5 > cjtsm-=\ - ---Cksm- Таким образом, собственные числа матрицы 5 имеют вид А, = Ц1й. 1 + TOVk Будем исследовать устойчивость по начальным данным, т. е. будем оценивать чувствительнось решения к возмущению начальных данных. Положим /ifc(t) = О, v? = О- Обозначим \m=l / Назовем разностную схему устойчивой по начальным данным в норме L2ji, если существует постоянная с\, не зависящая от шагов сетки h м т, такая, что для решения К задачи (11), (5) с pi - р2 = = О справедлива оценка max t. z. cit.OU ,. (13) В теории разностных схем установилась традиция, когда не делают различия между матрицей и порождаемым ею линейным оператором. Обозначим через Л оператор (матрицу), который функции v со значениями tiQ = О, til,... ,tijv/ i, tijv/ = О в узлах О,..., М ставит в соответствие функцию со значениями в тех же узлах равными О, Atii,..., Avm-i, 0. В случае pi = р2 - fh - уравнение (11) можно записать в виде Матрица S называется матрицей или оператором перехода от слоя к слою. В общем случае S может зависеть от п. Пусть {А}, i = 1,М - 1,- собственные числа матрицы S. Матрица S симметрична и поэтому 52 =maxAj. Функция гл° может быть представлена в виде дискретной суммы Фурье 7гк{тп) Выясним, когда будет выполнено условие Ayt 1. Заменяя Л. его выражением через v/, получаем условие 1 + TGVk Так как vj, т > О, то эти неравенства эквивалентны соотношениям -1 - TUVk 1 + rovi, - TVk 1 + rouk- Правое неравенство выполнено всегда, а левое-при t{1 - 2u)v}. 2. При а 112 последнее неравенство будет вьшолняться при любом г > О, а при и < 1/2 - если 2(1 - 2а) (1 - 2а) шах щ 2(1 - 2а) Таким образом, нами получены достаточные условия устойчивости схемы (11), (5) по начальным данным. А именно, если у? = О и /J,,2 = 0, то при а 1/2 разностная схема (11), (5) безусловно устойчива; при а < 1/2 схема устойчива, если шаги кит связаны соотнопюнием (14), т.е. схема (11), (5) в этом случае условно устойчива. Предположим, что условие Л 1 нарушается, т.е. что A/-i 1 4-(5, где , т-г п (Л - l)?n/t й > и и не зависит от п и г. Положим и = sm---. Тогда (С = (1 + ) sin ( ~l)rnh ~буЦ\и°\\, где S ё > 0. А В этом случае шах -+ ос при г О, т.е. схема неустойчива. Иногда используют несколько отличное определение зстойчивости по начальным данным. Говорят, что разностная схема устойчива по начальным данным, если собственные числа оператора перехода лежат в круге радиуса 1 -f- ст. Покажем, что в рассматриваемом примере это определение согласуется с (13). Действительно, пусть Afc - собственные числа матриць! S. Тогда и = S u° = м-л AfcCfc sin -j и (1 + cr) u°. В этом случае при пт = const и г -> О имеем еЦиОЦ, пт Т. При исследовании разностных схем для более сложных задач, например при других типах граничных условий, более общем операторе в правой части уравнения (1) и т.п., доказательство устойчивости с использованием принципа максимума или метода Фурье вызывает определенные затруднения, а иногда исследование устойчивости этими приемами является просто невозможным. В этом случае исследование устойчивости разностных схем обычно проводится методом энергетических оценок. dt дх + /, и{0, t) = и{Х, t) = О, (ж, 0) = ио{х). (15) Будем предполагать, что правая часть /(ж. t) и функция uo{x) таковы, fdu\- , ди что при любом i G [О, TJ существует интеграл j yj) J dx < ее v\ ~ непрерывна по t. Умножим обе части уравнения (15) на и и проинтегрируем по ж. Используя формулу интегрирования по частям, нолугаем энергетическое томсдество Для функции (р{х, t), которая при любом t G [О, Г] принадлежит пространству W2 [О, X], обозначим v5(i)i = J (j Если функция /(ж, t) такова, что для любой д [О, X] существует интеграл / f{x, t)(j{x) dx, то через /() i обозначим норму ./о Согласно определению имеем X I fu dx Jo \\fit)\Ldn{t)\\,e\\umi + -\\fmu. При получении последней оценки было использовано е-неравенство \аЬ\ еа + -Ь, (17) которое следует из соотношений О (а± гь] = еа + - ± аЬ. В данном случае мы обозначили ii(i)j через а, а /(i) -через Ь. Тогда из (16) следует неравенство Опишем кратко его суть на дифференциальном уровне. Пусть и{х, t) - решение задачи ди ди 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 [177] 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |