Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 [178] 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

(v, U)) = hVmWm. \\vf = (v, v), M-1 .

iHiN Em-

M-1 у Ч 2

Vm+l - Vrn

Заметим, что

поэтому (18) можно преобразовать к виду

< = Л(и + -Ь u) + т{а - 0,5)AuJ + V? . (19)

Умножим обе части (19) скалярно на 2ти . Получим

2гК2 = (Л(и +1 + ), +1 - +

+ 2т\а - 0,5)(Л<, О + 2г(и у? ).

Из формулы суммирования по частям (9.8.14)

М-1 м , ,

ti--bjn - ~2 iT--Огп + амЬм - OiOo,

тп=1 m=l

Для определенности можно было бы положить е = 0,5. Проинтегрируем последнее неравенство по в пределах от нуля до Т. В результате получим

\ \\u{T)f + (1 - e)j \\u{t)\\l dt + 1 /(i)p dt

Здесь = I / u{x,i)dx\ . Последнее неравенство называется

энергетическим неравенством. Из него, в частности, следует, что решение и{х, t) непрерывно зависит от правой части и начальных условий.

Применим несколько похожую схему к исследованию устойчивости сеточной задачи (И), (5). Напомним, что и -значение и на п-м слое, т.е. u{mh) = uimh, пт). В этом случае уравнение (11) может быть переписано в виде

< = аАи- + (1 - ст)Л + V? , (18)

где и = (и ~ - и -)/т. В пространстве функций на слое (с нулевыми граничными условиями) введем скалярное произведение и нормы:

Ца - 0,5)т 1 -е-Н

Kp + K+i?K2 + J- 2.

Поэтому из выполнения соотношения 1 - е + 4{а - 0,5)т/Н 0 следует справедливость (23). Таким образом, для справедливости (23) нри ст < 0,5 достаточно выполнения соотношения

ПОЛОЖИВ йт =--1 т = т, имеем

(Av, v) = 2 h-2- j =

M-1 , .2

rvm+ipn\ 2

171=0

Оператор Л является симметричным (см. гл. 9), поэтому

= К?-К+1?.

Используя полученные соотношения, преобразуем (20) к виду

2r\\Kf + IW-Wl + 2г2(<7 - 0,5)<? = + 2г , V. ). (21)

Полученное равенство по аналогии с непрерывным случаем называют энергетическгш тождеством.

Оценим скалярное произведение в правой части (21) нри номош;и е-

неравенства Kf, V )! + [[(/ Р- Тогда из (21) имеем оценку

2г [(1 - е)< + г{а - 0,5)<?] + \\v-+% \\п% + Ш- (22)

Выясним, при каких а выражение в квадратных скобках будет неотрицательным. Заметим, что здесь е - произвольное положительное число, которое до сих нор не было фиксировано. При О < е 1 условие с 0,5 является достаточным, чтобы выражение в квадратных скобках было неотрицательным. В этом случае, фиксируя с 1 (нанример, можно положить е = 1), из (22) получим

IK+iHlKII? + lk f- (23)

Проведем более детальное исследование устойчивости при а < 0,5. С 4

учетом неравенства \\vf\\ Iklli которое было установлено ранее, из (22) получаем

Vm. 2<mM-2,

Таким образом, задача (11), (5) с неоднородными граничными условиями может быть записана как задача с однородными граничными условиями и некоторой измененной правой частью.

Используя оценку (23) рекуррентным образом, получаем

IKIlf l- °ll? + Eliii -Т. (25)

Последнее неравенство как раз и означает устойчивость })азностной схемы (11), (5) по начальным данным п правой части. При этом сумма в правой части (25) является квадратурной формулой для интеграла

Отметим, что если соответствуюш,ий интегргал / \\f{t)\\ dt сходится, то из

(25) следует ограниченность сеточного решения на бесконечном промежутке времени.

Таким образом, схема (11), (5) по доказанному выше является безусловно устойчивой при сг 0,5 и условно устойчивой (niarn Лит удовлетворяют соотношению (24), е > О пе зависит от шагов сетки) при а < 0,5.

Нами практически не рассматривался вопрос об устойчивости но граничным условиям. Дело заключается в следую1цем. Возьмем функцию s{x, t) - ii\{t){X - x)lX + i.i2{t)x/X. В этом случае функция v{x, t) = и{х, t) - s{x, t) является решением задаш (1) с однороднылш граничными условиями и правой частью / Ч- ds/dt.. Таким образом, если функции р. и /Л2 имеют произодные по t, то граничные условия в задаче (1) могут быть сняты описанным способом. В сеточном случае молено иначе свести задачу (11) с неоднородными грагшчными условиями (5) к задаче с однородными условиями. Пусть uj -решение сеточной задачи. Положим

41, lrnM ~ 1, О, m = О, гп ~ М.

В этом случае удовлетворяет однородным граничным условиям (5), начальным условиям (5) и системе уравнений (И) при (р, замененной на где

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 [178] 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208