|
| |
|
Слаботочка Книги = 0. (27) (o,t) Заменяя в (27) производную ди/дх разностным отношением, получаем аппроксимацию граничного условия Z ?i = п Q (28) Получим оценку скорости сходимости. Будем рассматривать схему (11), (5), так как остальные схемы являются ее частным случаем. Пусть и-решение дифференциальной задачи (1), а и-решение разностной задачи (11), (5). По определению Lf [и] - ip- = г, где г - погрепшость аппроксимации. Рассмотрим разность z = [и] - и. Она удовлетворяет уравнению -- = стЛг +1 + (1 - а)Лг + у. - / + г . (26) Таким образом, z является решением задачи (11) с правой частью г, равной погрешности аппроксимации, и однородными граничными и начальными условиями (5). Если рассматриваемая схема устойчива, то справедлива оценка (25), откуда j=o i=o В силу того что г = 0(ЛЯ+т) при а ф 0,5 и г = 0{}г+т) при а = 0,5, из последней оценки получаем, что при выполнении условия устойчивости решения сеточной задачи (11), (5) К сходятся к решению дифференциальной задачи и в сеточной норме maxz i. При этом порядок скорости сходимости равен порядку аппроксимации схемы. Таким образом, решение сеточной задачи сходится к решению дифференциальной задачи со скоростью, по порядку совпадающей с порядком аппроксимации разностной схемы. Сходимость разностных схем была установлена в сеточной норме пространства W2 на слое. Для получения оценки скорости сходимости в других нормах следует воспользоваться соответствующими оценками устойчивости либо использовать сеточные теоремы вложения (см. § 9.8). В частности, из теоремы вложения I I 11 II 1тЛ/-1 Z следует сходимость разностной схемы с порядком, равным порядку аппроксимации, в сеточной норме пространства С. Рассмотрим аппроксимацию граничных условий другого тина. Пусть, например, 1и = 7---ои Оценим погрешность такой аппроксимации. Имеем u(h, t) - и(0, t) = lu+ .,2ч hdu (o,t) + 0{h). (29) Таким образом, построенная аппроксимация (28) граничного условия (27) имеет первый по h порядок аппроксимации. Для повышения порядка аппроксимации воспользуемся приемом, который применялся при аппроксимации условия (27) в краевых задачах для обыкновенных дис]}- ференциальных уравнений. Из уравнения (1) выразим Получим ди ди /. Тогда либо ii(0, i -f т) - и{0, t) (0,t) (o,t) -/(О, i) + 0(r) ii(0, t) - u(0, t - t) - /(0, t) - 0(r). Подставив это выражение в (29), получим h /ii(0, t + т)- ?i(0, /) -/(0, t) +0(/.+t). Таким образом, аппроксимация граничного условия (27) с порядком 0{К + т) будет иметь вид либо <+1 - g+ h Можно также использовать линейную комбинацию этих условий -а<-М+(1-а) (30) (31) (32) Из построения следует, что аппроксимация граничного условия (32) имеет порядок 0{h-\-T). Непосредственно можно убедиться, что при сг = 0,5 условие (32) аппроксимирует (27) с порядком 0{h + т). фактически не изменится: матрица (On) (1 п) будет иметь трехдиагональный вид. Исследование устойчивости разност- Рис. 10.5.4 ных схем, аппроксимирующих краевые условия третьего рода, проводится методом энергетических оценок по схеме, описанной выше. По аналогии с построениями, проводившимися для краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, можно строить схемы повышенного порядка точности, например 0(1г+т) или же 0(/i + т). § 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений По сравнению с краевыми задачами для обыкновенных дифференгщаль-ных уравнений при построении разностных схем в многомерном случае возникают дополнительные трудности, связанные в основном с аппроксимацией граничных условий. Рассмотрим простейшую краевую задачу - задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Пусть область Q представляет единичный квадрат: Q = {(ж, у), О < х,у < 1}; (5f2 -граница Q. Требуется найти функцию и, дважды непрерывно дифферешщруемую внутри О и непрерывную в замкнутой области Cl, которая внутри области удовлетворяет уравнению и принимает на границе заданное значение и\дп = (а;, у), (а;, у) € дП. (2) В дальнейшем независимые переменные будем обозначать как буквами (ж, у) так и (ж!, Ж2). Опишем построение сетки. Разобьем плоскость i? прямоугольной сеткой с шагами hi и /12, hk = l/N- Для определенности будем считать, что Ni N2. Точки вида (ж, уп) = {mhi, п/12) будем назьшать узлами сетки и обозначать их (тп, п). Узлы, лежапще внутри Q, будем называть внутренними узлами и множество таких узлов будем обозначать Заметим, что шаблон, на котором (0,п+1) (1,п+1) осуществляется аппроксимация, содер- жит в общем случае только четыре узла (О, п), (1, п), (О, п + 1), (1, п + 1) (см. рис. 10.5.4). Поэтому структура матрицы линейных уравнений для нахождения и в неявных схемах 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 [179] 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |