|
| |
|
Слаботочка Книги г=0 \j=0 ) (16) Пусть о является корнем характеристического уравнения (10) кратности s; в частности, если а не является корнем этого уравнения, то s = 0. § 8. Многочлены Чебышева Рассматриваемые ниже многочлены Чебышева играют фундаментальную роль в теории и практике использования численных методов. С их помощью решается значительная часть задач оптимизации свойств вычислительных алгоритмов. Запись многочленов в традиционной форме часто приводит к большому ВЛ1ЮНИЮ вычислительной погрешности, и в этих случаях их целесообразнее записывать в виде линейных комбинащш многочленов Чебышева. Многочлены Чебышева Т (а;), где п О, определяются соотношениями ад = 1, Г1(ж) = ж, Тп+1 = 2хТп{х) - Tn-iix) при п > 0. Задача 1. Доказать, что совокупность частных решений (15), соответ-ствуюп;их корням характеристического уравнения (10), образует фундаментальную систему (т. е. они линейно независимы и решение (8) может быть получено как линейная комбинация таких решений). Задача 2. Пусть Ps i(n) ~ произвольный многочлен степени s - 1. Доказать, что функция Ps-i{n)ii записывается как линейная комбинация функций (15) P, i(n) = C,y,(n). ./=1 Таким образом, вместо системы решений (15) можно взять систему решений \\{п) = ц1, \2{п) = Fs(n) = JZ* . Задача 3. Показать, что уравнение (16) имеет частное решение вида /s+m-J \ где dj могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим теперь разностное уравнение h /т-1 \ §8. Многочлены Чебышева 59 Пользуясь рекуррентной формулой (1), получаем, например, Т2(ж) = 2а;2 - 1, Тз{х) = - Зж, Т4(ж) = - 8,т + 1, Щх) = Idx - 20х + 5х,.... Старпхий член многочлена Tn+i{x) получается из старпхего члена многочлена Т {х) умножением на 2х, и, следовательно, старший член в Т (а;) при п > О есть 2 -1ж . Все многочлены Т2. (ж) являются четными функциями, а T2 +i(x-) - нечетными. При п = О это утверждение верно. Предположив его справедливость при некотором га, мы получим, что 2.гГ2 +1(.т)-четная функция и, вследствие (1), Т2 +2(.с) - тоже четная функция. Тогда 2.гТ2 +2{.т) и Т2 +з(.т), вследствие (1),- нечетные функции. При любом в имеем co,s((n + 1)в) = 2 cose cos пб - cos((n - 1)6 ). Полагая в = агссовж, получим cos((n + 1) arccos х) = 2жcos{naiccos .7;) - cos((n - 1) arccos x). Функция cos(n aiccos ж) удовлетворяет тому же разностному уравнению (1) по переменной п, что и Т (ж). Начальные условия при п = О и п = 1 одни и те же: cos (О arccos ж) = 1 = То{х), cos(l arccos ж) = ж = Ti (ж); поэтому при всех п Т-п(ж) = cos(n arccos ж). (2) Следовательно, Т (ж) 1 при ж 1. (3) Не нужно думать, что T,j(.x)j 1 при всех вещественных х. Если .г 1, то arccos а: не является действительным числом, а косинус такого чисда больше 1. Рекуррентное соотношение (1) является разностным уравнением; ему соответствует характеристическое уравнение Ij, - 2цх + 1 = 0 с корнями Д12 = Х± \/х - 1. При X ф ±1 корни простые, поэтому TM)=ci{x),il + C2{x),4. Из начальных условий То{х) = 1, Ti{x) = х получаем ci = сг = 1/2; таким образом, Т (ж) =---. (4) Задача 1. Проверить справедливость этой формулы при ж = 1 и ж = - 1. Из уравнения Тп{х) ~ cos(narccosж) = О получаем, что [7г{2т-1)\ Хт = COS - , т = I , п, \ 2п J - нули Т (ж). Вследствие (2), (3) точками экстремума Т (ж) на [-1,1] будут точки, где Т (ж) = 1. Решая это уравнение, получим /7тт\ Х{т) - <-os -j , т = О,..., п, причем r (x-( )) = cos7rm = (-ir. Многочлены Т (ж) = 2-Т (ж) = ж + называют многочленами, наименее уклоняющимися от нуля. Это определение объясняется следующим свойством. Лемма. Если Рп{х) - .многочлен степени п со старшим коэффициенто.м, 1, т,о max \Рп{х)\ max \Тп{х)\ = 2}. (5) Доказательство. Предположим противное. Многочлен Тп{х) - Рп(х) имеет степень п - 1; в то же время sign(T (x( )) - Pnixm))) = Sign((-l) 2l-- - Р (ж( ))) = (-1)-, так как, согласно предположению, Р (.г-( )) < 2~ при всех т. Таким образом, между каждыми двумя точками ж( ), Xf-m+i) многочлен Т. (ж) - Рп{х) меняет знак. Многочлен T (x)-P (x) степени п -1, отличный от нуля (поскольку он отличен от нуля в точках ж( 1)), имеет п различных нулей. Мы пришли к противоречию. Задача 2. Доказать более сильное утверждение: если Р (ж) = ж + .--/Т (ж) тахР (ж) > 2 \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [18] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |