|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 [181] 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Q{xi, Х2) = ll/llF. + lklb, которую будем рассматривать в узлах сетки Од. Из вышесказанного следует, что в любом внутреннем узле AfQrnn = А Q(, ) = -иУн, m = 1,..., JVi - 1, п = 1,..., JV2 - 1. Из лемм 1 и 2 непосредственно следует Теорема 1. Пусть определена uaUhue узлах Гд удовлетворяет уравнению AS = 0; m = 1,..., iVi - 1; n = 1,..., iVa - 1. Тогда достигает своего наибольшего по модулю значения на границе dQh Теорема 1 является разностным аналогом принципа максимума для гармонических функций. Из нее следует, что система уравнений (3), (4) с fmn = О и = О имеет только нулевое решение, поскольку наибольшее по модулю значение ип равно нулю. Следовательно, определитель системы линейных уравнений (3), (4) (число уравнений равно числу неизвестных) отличен от нуля и при любых и система (3), (4) имеет единственное решение. Заметим также, что отсюда следует однозначная разрешимость системы уравнений (5) при любой правой части (р. Конкретизируем общие построения § 1 этой главы. Пусть U, и G- некоторые пространства функций, определенных на О. и dQh-Введем в них нормы, согласованные с нормами соответствующих пространств в непрерывном случае. Согласно определению (см. § 1) разностная задача (3), (4) будет устойчивой, если существует постоянная ci, не зависящая от hi, /12, такая, что для решения и системы уравнений (3), (4) справедлива оценка ll llt/.ci(/..-baG/.). (7) Исследуем устойчивость схемы (3), (4) и оценим близость и к и. Пусть нормы в и, F и заданы следующим образом: \W\\uh = max , WfWph = max/ , \\а\\сп = maxa . Вследствие (6) для любого многочлена Q{xi, Х2) второй степени вьшолняется равенство так как четвертые производные, входящие в (6), обращаются в нуль. Возьмем i?= \/2/2 = (diamn)/2 и построим вспомогательную функцию II/IIf.o. Таким образом, 0, т.е. Q ъ Clh- Аналогично, рассматривая функцию = + Q в r/j, устанавливаем, что Тогда из леммы 2 следует оценка О или же -Q. Таким образом, всюду в Q.h установлено неравенство г* Q и поэтому \WЧu WQWun -RЧfЧF + IIIIg- (8) Заменяя это неравенство более сильным \\AW\\nF + \WЧGЧ получаем оценку (7). Таким образом, разностная схема (3), (4) устойчива в сеточном аналоге нормы пространства С. Оценим сходимость разностной схемы (3), (4). Для этого запишем уравнение для погрешности R{mh, nh) = Rmn = и{хт, Уп) - Umn- -ARmn = - AMh + AUmn = Гтп\ {m,n) здесь Гтп - погрешность аппроксимации. В силу того, что граничные условия выполняются точно, имеем = 0. Так как радиус R области Vt равен v/2, то используя оценку (8), получаем \\R4v>\\\r4F>=0{h\ + hl). Таким образом, решение сеточной задачи (3), (4) сходится к точному решению дифференциальной задачи в сеточной норме пространства С Напомним, что все рассуждения проводились в предположении, что решение задачи (1), (2) обладает достаточной гладкостью, а именно что и{х, у) имеет непрерывные четвертые производные в Г. Тогда разность = - Q в узлах Q.h удовлетворяет неравенству = f + WfWpH 0. По лемме 1 функция принимает наибольшее значение на границе дО,. Но на dVlh справедливо отношение Из доказательства сходимости видно, что основным моментом являлось получение оценки (8), характеризующей устойчивость разностной схемы. Сходимость же схемы является следствием аппроксимации и устойчивости, причем порядок скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации. Проведенное выше доказательство сходимости схемы является частным случаем теоремы Филиппова. Описанный метод дает приближенное решение, сходящееся к точному со скоростью 0(Л,2). По аналогии с одномерным случаем можно построить разностные схемы, обладающие более высоким порядком сходимости. Наметим пути получения более точных схем. Предположим, что решение и непрерывно дифференцируемо шесть раз в замкнутой области Cl. Тогда вместо (6) можно написать равенство (т, п) (т, п) + 0{ht) Дифференцируя (1) два раза по ж, получаем дх дхду дх Таким образом, {т,п) Ч ( дЧ df 12 \дхду дх {т,п) + 0{ht). Заменяя производные в правой части разностными отношениями, имеем {т,п) (т,п) IKhlhl hi (m, п) + 0{h\ + hl). Аналогично устанавливаем, что 62V, {тп, п) hi (бЩу. 8lf (тп,тг) 12 Ч {тп, п) + 0{ht + hi). Складывая полученные равенства, получаем (т, п) l(m,7i) hl + hl SlSu (т, п) hlhl (m,n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 [181] 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |