|
| |
|
Слаботочка Книги Искомая разностная схема четвертого порядка аппроксимации будет иметь вид hf + hi бби hfhl (m, n) - fmn ~ 2 ( l- * ~~ Ifmri; m= 1,..., Л1-1, n = l,...,iV2-l. (m-l,n) Ctn.n) (m+l,n) Нетрудно видеть, что шаблон схемы (9) состоит из девяти точек (рис. 10.6.3). Схемы более высокого порядка, (то-1,п+1) (т,п+1) (т+1,п+1) в отличие от одномерного случая, будут содержать тем большее количество узлов, чем выше порядок аппроксимации разностной схемы. В случае, если область Q является объединением прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, и hi = h-, при гладком решении рассмотренная схема будет иметь четвертый порядок сходимости. Более точно, если решение и исходной задачи имеет шестые ограниченные производные в замкнутой области fi, то справедлива оценка (m-l,n-l) (т,п-1) {т+1,п-1) Рис. 10.6.3 Шаблон схемы 4-го порядка гпах Ншп V/Xni, Уп где - решение системы сеточных уравнений (9), (4). Пусть Q является объединением конечного числа прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, причем стороны, параллельные оси XI, лежат на прямых Х2 = 2/12, П2-целое, а параллельные оси а;2-на прямых xi = nihi, щ-целое. Тогда построение и исследование разностной схемы проводится аналогично. Расмотрим наиболее простые методы аппроксимации граничных условий в случае области с криволинейной границей. Ограничимся рассмотрением равномерного шага, т.е. hi = h2 = h. Рассмотрим множество прямых X = mh, у = nh. Точки их пересечения между собой, а также точки их пересечения с дО, будем называть узлами. Через P/j обозначим узлы, лежапще на дО., а через dflh- узлы {mh, nh) с целыми координатами (т, п), лежащие в Q., расстояние от которьгх до границы дО., измеряемое вдоль направления какой-либо из осей координат, меньше h. Остальные узлы сетки, лежащие в U, обозначим Clh- Тогда в каждом узле (т, п) (т. е. в точке с координатами (m/i, nh)) сеточной области 0, можно записать уравнение -Аи-тп = fmn, Ы, П) £ П. (10) Простейший способ аппроксимации граничных условий заключается в сносе граничных условий в узлы Ш/ , т.е. полагаем Umn = Oi{x, у), (m, п) е dClh, (т~1,п) заменим уравнени- (т,п} где (ж, у) - ближайшая к узлу (т, п) точка границы. В этом случае - внутренние узлы сеточной области, а дО, - граничные. Нетрудно видеть, что при таком способе задания граничных условий порядок аппроксимации будет 0{h). Исследование устойчивости и сходимости разностной схемы (10), (11) проводится точно так же, как для схемы (3), (4), однако в данном случае получается порядок сходимости 0(h). Это является следствием довольно грубой аппроксимагщи граничных условий. Рассмотрим еще один способ аппроксимации граничных уело- /(т.,п+1) вий. Назовем узлы dlh приграничными, а узлы F/j - границей сеточной области. В узлах Q.h уравнение (1) ем (10); в F/j положим и а, т.е. в этом случае граничные условия выполняются точно. Пусть (m,n)-узел ди- Для определенности будем считать, что узлы (т + 1, п), (т, п+1), (т, п-1) не лежат иа F/i (отрезки, соединяю- узлах, щие их с узлом (т, п), принадлежат Q), а узел (т - 1, п) лежит на F/j. (В этом случае узел (т - 1, п) соответствует точке ((т - l)he, nh) G dfl, О < в < 1 (см. рис. 10.6.4).) Тогда аппроксимация (1) в приграничном узле (т, п) берется в виде (т+1,п) (т,п-1) Рис. 10.6.4 Аппроксимация в приграничных - h\ h Umn UfYin Ujfi- Jm,n+l U-mn U-m,n-\ /l2 (12) Здесь /i* - расстояние между узлами (m -1, n) и (m, n). Аналогично осуществляется аппроксимация уравнения (1) в других узлах dh. Итак, в узлах уравнение (1) аппроксимируется обычным образом, а аппроксимация на неравномерной сетке используется только в узлах dilh- Поэтому узлы Vth называют регулярными, а узлы dVlh нерегулярными. Аппроксимация уравнения (1) в нерегулярных узлах в данном случае имеет порядок (9(1). Замечание. Довольно распространенным является другой способ аппроксимации уравнения (1) в нерегулярных узлах. А именно, полагают (см. рис. 10.6.4) \ 6Ur, + (13) В этом случае погрешность аппроксимации в таких узлах имеет порядок 0(/i) и теорема 2 будет справедлива. Однако если систему линейных уравнений путем исключения граничных значений привести к виду (5), то получится система уравнений с несимметричной матрицей. Таким образом, в данном случае сеточная задача теряет важное свойство, присущее исходной задаче - симметричность оператора. При исследовании краевых задач с другими граничными условиями и эллиптическими дифференциальными операторами более общего вида, а также краевых задач для систем уравнений в частных производных принцип максимума, разностный аналог которого использовался при исследовании устойчивости и сходимости разностной схемы, вообще говоря, не имеет места. Кроме этого, часто бывает необходимо оценивать не только близость получаемого приближения к точному решению, но и близость их производных. Все это приводит к необходимости создания методов исследования разностных схем, не использующих принцип максимума. Как и ранее, проиллюстрируем методику исследования на модельной задаче Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (1), (2) и на соответствующей разностной схеме (3), (4). Пусть hi = h2 - h. Исключая граничные условия (4) из (3), получаем систему уравнений (5). Обозначим через Н линейное пространство сеточных с1)ункций, определенных на Таким образом, элементы Н можно рассматривать как векторы размерности {Ni - 1) х {N2 - 1); компоненты этих векторов являются значениями функций в узлах Матрица Lh системы уравнений (5) порождает линейный невырожденный оператор в Н. Тогда если и - {umn}, < - {<Pmn}, то система уравнений (5) может быть записана в операторной форме: Lhu = (14) Для рассмотренной схемы имеет место Теорема 2 (без доказательства). Если решение задачи (1) а G C (f2), то разностная схема (10) с аппроксимацией (12) е нерегулярных узлах имеет второй порядок сходимости в сеточной норме пространства С, т. е. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 [182] 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |