|
| |
|
Слаботочка Книги \ira([gi]h, lg2]h) = / 9i92dx для люых непрерывных функций из L2()-Пусть = [v, v). Справедлива Лемма 3. Оператор является симметричным и положительно определенным на Н, и для него выполнена оценка liWvf {LhV,v)j2\\vf, (16) где О < fli 7i, о 72 02 Ог н зависят от h. Доказательство. Заметим прежде всего, что симметричность оператора L/i следует из симметричности соответствующей ему матрицы. Проведем, однако, доказательство этого факта другим методом. Пусть v Е Н; обозначим через V сеточную функцию, совпадающую с г; на Л/ и равную нулю на dflh- Тогда из определения Lfi можно записать {Lhv)ran = {-АЧУпп, 1 m,nN -I. Представим в виде L, = -i- L2, где -Vm,n+1 + 2fmn - Vm,n-1 Т.е. Li и L2 являются одномерными сеточными операторами, соответствующими дифференциальным операторам - тг и Покажем, что Lk симметричен и положительно определен. Пусть для определенности к = 1. Используя формулу суммирования по частям (9.8.14), получим /7- \ /2 rn+l,n (Liv, w) = у. - m-1,п ~ U)jnr) - Д2 -тп m,n=l N-\ /N-1 , \ h --2-Wrnn = =1 \m=l / N-l N ... \ / ~ ~ \ 2 / Vm,n - Vrn-l,n \ I Wm,n ~ m-l,n \ n=lm=l Здесь - оператор, соответствующий матрице системы уравнений (5). Введем в Н скалярное произведение [и, v)= Y1 hu{P)v{P), u,veH. (15) Реп Скалярное произведение (15) согласовано со скалярным произведением функкций в 2(), т.е. Функции V н w входят в правую часть равенства симметричным образом, поэтому N-1 лг.- \/~ ~ \ {Liv, w) = Xlh (--- 1 I---1 = (Liw, v), n-l m=l Т.е. оператор Li симметричен. С другой стороны, из разностного аналога теоремы вложения (§ 9.8) получаем N-\ N 2 (Liv, v)=} }h4--- n=lm=l 4 - 0<m<N 4 Используя аналогичную оценку для оператора L2, получаем {LhV, V) > -\\vf, т.е. левая часть (16) доказана. В другую сторону оценка получается намного проице. Поскольку {Vm,n - Угп-1,пУ < 2(i)2 + v-iJ, то (Liv, v)} lh ~---= -гМ , откуда Лемма доказана. {L v, V) jWvf. Задача 1. В случае прямоугольника со сторонами h и I2 показать, что минимальным и максимальным собственными значениями оператора Lh являются соответственно Amin - 4 Атпя.х - 4 cos-cos TT/lf \ Таким образом, (16) выполняется при 71 - Amin и 72 = Ащах, что по порядку при hi = Л.2 совпадает с оцетжами, полученными выше. Из проведенных выше рассуждений вытекает возможность введения в пространстве Н нормы г;2 = {Lnv, v). При исследовании скорости сходимости в энергетической норме мы предполагали, что решение имеет непрерывные четвертые производные. Оказывается, что это требование является завышенным и тот же результат можно получить в предположении, что решение обладает только третьими непрерывными производными в й. Это связано с тем, что погрешность аппроксимации имеет дивергентный (дипольный) характер. Используя формулу Тейлора, получаем Ц(Жто+Ь Уп) - 2и{Хт, Уп) + и{Хт-Ъ Уп) h
m = l,...,N-1; которую называют энергетической. Название связано с тем, что в непрерывном случае при и, имеющем физический смысл отклонения мембраны и u\gQ = О, выражение 2 пропорционально потенциальной энергии мембраны. Будем исследовать устойчивость разностной схемы (14) в Н. Умножим обе части (14) скалярно в Н на и; применяя (16). получим \\и% = {v>\ ) Ш ъ\\ Поэтому справедлива оценка \\А\1ъЧЛ (17) что означает устойчивость разностной схемы. Отсюда, в частности, следует, что система уравнений (14) при (р = О имеет лишь тривиальное решение = О, т.е. мы еще раз доказали, что (14) разрешима при любой правой части единственным образом. Оценим скорость сходимости разностной схемы (3), (4) в энергетической норме. Как и ранее, будем предполагать, что решение и дифференциальной краевой задачи (1), (2) имеет непрерывные четвертые производные в замкнутой области. Тогда погрешность = [и]/, - будет удовлетворять уравнению LhR = г = Lh[u]h - Lhu\ (18) где г = 0{h?) - погрешность аппроксимации. Применяя оценку (17), имеем \\R4i ъЧг\\ = 0{h\ Таким образом, рассматриваемая разностная схема имеет второй порадок сходимости по /г в энергетической норме. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 [183] 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |