|
| |
|
Слаботочка Книги здесь Xi-i Xi- Аналогичная формула получается и для разности по второй переменной. Следовательно погрешность будет удовлетворять уравнению (18) с правой частью, равной Умножим обе части (18) скалярно в Я на Д. Используя с1:>ормульг суммирования по частям, правую часть преобразуем к виду К2 W-l / ,(1) ,(1) т, п=1 \ Е. 2 /Rmn Дт-1,п ,(1) Rmn Rm,n-1 ,(2) 1 I Ртп+ Vmn - ~ 6 га,п=1 Таким образом, \{г, й )! < у Цй !!! (ИП + \\ФЧ) < с/1 lllli; поэтбму 71 ch\\R\\i, откуда следует = 0{ti). При построении разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (1) с краевыми условиями второго или третьего рода, можно воспользоваться методами, которые применялись в одномерном случае. Пусть для определенности рассматривается задача для уравнения (1) с краевым условием третьего рода + ви) = а, e{s) 0, S G дП. (19) Напомним, что в качестве области Г2 мы рассматриваем единичный квадрат. Для определенности рассмотрим аппроксимацию условия (19) на участке границы ж = 1. Тогда, заменяя производную в (19) разностным соотношением, получим -Г--1- INnUNn = CiNn- (20) Найдем погрешность аппроксимации и{1, nh) - и{1 - h, nh) ди h ди + ви-а ~\дх 2 дх 2 5ж2 h ди + в{1, nh)u{l, nh) - а{1, nh) -+ 0{h) = {l,nh) 2 дх (l,nh) + 0{h). = -fNn--Та-+ 0{h ). (l,nh) Поэтому если рассмотреть аппроксимацию граничного условия (19) вида -- + fNnUNn - OlNn - h(, UN,n+l-UNn + UN,n~\\ -[fNn +--j=0, TO в силу проведенных выше построений получаем, что соотношение (21) аппроксимирует краевое условие (19) с порядком 0{h). Приводя подобные члены, преобразуем (21) к виду 2uNn-U]s-l,n-MN,n+l+UN,n-l) , /пп\ --- -I- eiVn UNn = 0!Nn + 2 Jlri- (22) Отсюда ясно, как будет записываться аппроксимация граничного условия в других узлах dilh- В частности, с помогцью подобных рассуждений получаем аппроксимацию в угловом узле (Л, 0): -г---f- 26 UNO = otm + hjNo- (23) Заметим, что в данном случае граница сеточной области включает угловые точки. Другой способ аппроксимации граничного условия (19) опирается на то, что берется другая сетка. Рассмотрим множество узлов йп = {х = (хи хч); х{ = jh - /i/2, j = О,..., -I-1}, h = N-\ и пусть Qh -~ множество узлов сетки, лежащих в С1. Тогда, как и ранее, уравнение (1) можно аппроксимировать в узлах Q/i обычной пятиточечной схемой. Краевые условия (19) на такой сетке будем аппроксимировать следующим образом: UN+l,n - UNn п/Аги 1,4 . UN+l,n+UNn . ,ч , /14 ---в (Nh, nh) Ч---~ (* *) () Предположим, что решение дифференциальной задачи может быть продолжено за пределы области Q с сохранением свойств гладкости. Тогда выражение (24) аппроксимирует краевое условие (19) на участке границы а; = 1 с порядком 0{h). Это можно непосредственно проверить, подставляя решение и в (24) и воспользовавшись формулой Тейлора в точке (1, nh). Таким образом, погрешность аппроксимации граничных условий (20) имеет первый порядок по п. Выражая из уравнения (1), получа- ди = - (f+ (l,7lh) V Метод конечных элементов. До сих пор рассматривалась разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона, которая строилась непосредственно путем замены производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями. Аналогично случаю краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрим способы построения дискретных аппроксимаций, основанные на вариационных и проекционных принципах. Будем рассматривать краевую задачу (1). (2) с однородными граничными условиями. На множестве непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе dQ, введем норму (Vvf dxc (25) Замыкание множества таких функций в этой норме является гильбертовым пространством; обозначим его через (ранее мы его обозначали Рассмотрим задачу о нахождении минимума функционала min Ф{ь) = min \ / {Vvf dxdy - 2 / fvdxdy} (26) vem ьеЮ [Jq Jn } на пространстве функций Н. Если классическое решение и задачи (1), (2) при О! = О существует и принадлежит Н, то оно дает минимум функционалу (26). Обратное, вообще говоря, неверно; функция, доставляющая минимум функционалу (26) на Н, не обязательно должна обладать вторыми производными. Таким образом, задачу нахождения решения (1), (2) можно заменить задачей о нахождении минимума квадратичного функционала (26) на Н. Решение, получаемое в результате минимизации функционала (26) на Н, является обобщенным решением краевой задачи (1), (2). Для построения вариационно-разностной схемы воспользуемся методом Ритца. Аппроксимируем некоторым конечномерным подпространством V; в методе Ритца за приближенное решение задачи (26) принимают функцию V G V, минимизирующую функционал (26) на подпространстве V. Подпространство V построим следующим способом. Пусть Clfi - {{х, у); X = mh, у - nh; О т, п N}. Разобьем Q на квадратные ячейки со стороной h и вершинами в узлах fift,. Каждую ячейку Umn = {{х, у), mh ж < (m -f l)h, nhy {п + l)h} разобьем диагональю, проходящей через вершины {т, п), (т-Ь1, гг + 1). Таким образом, вся область Cl будет разбита на прямоугольные треугольники с катетами, равными h. Эти треугольники будем называть элементарными, а разбиение области Q на треугольники - триангуляцией обла- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 [184] 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |