|
| |
|
Слаботочка Книги кусочно-непрерывными и ip краевые условия, получим Ш\г ~ тегрируя по частям и используя / VuVpdxdy + a{s)u{s)ip{s)ds = / fipdxdy. (31) Jn Jt Jn Соотношение (31) называется интегральным тождеством; оно имеет место для любой функции (pGH, где - пространство, являющееся замыканием множества гладких функций, равных нулю на 5Г2\Г в норме (25). Если и является классическим решением задачи (30) и имеет суммируемые в квадрате производные, то оно удовлетворяет (31) и n G Н. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно указать функции и н f, для которых вьшолнено (31), однако классическое решение задачи (30) существовать не будет. Функцию и Н, удовлетворяющую интегральному тождеству (31), называют обоби/енным решением задачи (30). Обобщенное решение, определяемое из интегрального тождества (31), совпадает с обобщенным решением, определяемым минимизацией функционала / \Vvfdxdy-2 fvdxdy + / a{s)v{s)ds. Jn Jn Jr Подобное обстоятельство всегда имеет место в случаях, когда исходный дифференциальный оператор является симметричным и положительно определенным. Если эти условия не выполнены, то задача определения обобщенного решения не может быть сформулирована в терминах минимизации некоторого квадратичного функционала, но может быть сформулирована при помощи интегрального тождества типа (31). Поступим аналогично предыдущему случаю. Триангулируем область Г2 и введем пространство функций, кусочно-линейных на элементарных треугольниках и обращающихся в нуль на 9Г2\Г. Приближенным решением задачи (31) назовем функцию u G такую, что для любой if Е выполняется равенство /VuVipdxdy+ [ a{y)u{\,y)ip{l,y)dy= f fcpdxdy. (32) Jn Jo Jn Таким образом, интегральное тождество (32) совпадает с (31) с той лишь разницей, что в (32) решение и пробные функции берутся из подпространства С Н. Функция и* полностью определяется своими значениями в узлах сетки. Для того чтобы и удовлетворяла (32), необходимо и достаточно, чтобы (32) было справедливо для любой функции tp G V, входящей в базис V. В качестве базисных функций возьмем функции из V, которые равны единице в одном из узлов QUTji и нулю во всех остальных узлах. Это дает нам систему сеточных уравнений. Обратим внимание на тот факт, что теперь в базис входят функции, которые, вообще говоря, отличны от нуля на Г. Представим К в виде К = YUmnymn-, где - неизвестные коэффициенты. Подставляя это выражение в (32), получаем YUmn I VtprnnVPijdxdy + УПшп / а(у)шп(1, y)¥>ij{i-, y)dy = = f fVij dxdy; liN, 1 j N - 1. (33) Совокупность соотношений (33) образует систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Umn и порождает некоторую проекционно-разностную схему (эта схема могла бы быть получена и как вариационно-разностпая). Так как любая функция (р G может быть разложена по функциям ртп, то из выполнения (33) будет следовать справедливость (32). Таким образом, выражения (32) и (33) эквивалентны. Для доказательства устойчивости (33) положим в (32) у? = К. Тогда \\и% f{VKfdxdy+ fa{y)[u4l,y)fdy Jn Jo / f к dxdy Ju -1 = sup -1 IP lib Таким образом, \\u\\i ll/ll-i- Это означает устойчивость проекционно-разностной схемы, т.е. малым изменениям / в норме соответствуют малые изменения К в норме {{ Рассмотрим структуру матрицы системы уравнений (33). Если 1 ? А - 1, то (рц\т =0, поэтому интеграл по Г в (33) равен нулю. В этом случае выражение (33) совпадает с (28), и, следовательно, уравнение, соответствуюгцее функции ipij, имеет вид 9ij = Jf3 y- В точках Г, т. е. в узлах вида (А, j), имеем 2uNj - UN,j-l - UN,j+l , --- -I- UMj - UN-l,j + Здесь cxi = PNjVNna(y)dy, hgnj = I ffNjdxdy. В случае, когда ai Jr Jn и Qij не вычисляются в явном виде, их можно вычислять приближенно, используя квадратурные формулы. Например, j f г + a{nh) f К - J PNj<PNna\,s)ds PS---J (pfjjipinds, hQij = / /Уц dxdy PS hfij. Jn В заключение кратко опишем построение проекдионно-разностной схемы в случае криволинейной границы и возможные обобщения этого метода. Пусть для простоты рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона и П - плоская односвязная об.ласть с кусочно-гладкой границей 9П, т. е. дИ состоит из конечного числа гладких дуг, пересекающихся между собой под ненулевыми углами. Зададимся параметром Л, -шагом сетки. Построим .ломаную F/i, обладающую следующими свойствами: а) об.ласть Пд, ограниченная Гд, содержится в П; б) между точками dU и можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. существует взаимно однозначное отображение <р : 9П -> Т, которое имеет кусочно-непрерывную производную р, \р\, ((/з~) С, где С не зависит от /),; в) расстояние от точек Г/, до dU не превосходит ве.личины Cili, где Ci > О - некоторая постоянная, не зависящая от h; г) длина звеньев .ломаной ограничена снизу величиной сгЛ, 02 > 0. При принятых допущениях относительно области такое построение всегда возможно. Разобьем область на треугольники (которые будем называть элементарными) так, что: а) длины сторон треугольников находятся в пределах [сзЛ С4/),], Cj > О -постоянные, не зависящие от h; б) площади треугольников находятся в пределах [ch?, сеЛ?]; в) .любые два треугольника либо не пересекаются, либо имеют только одну общую сторону, либо обшдю вершину. Описанное выше построение называется квазиравномерной триангуляцией области Q; вершины треугольников называются узлами сетки. Можно доказать, что такая триангуляция осуществима. Пусть JJ - пространство непрерывных функций, кусочно-линейных над элементарными треугольниками и обращающихся в нуль на Гд. Задаче (1) с однородным граничным условием (2) поставим в соответствие проекционно-разностную задачу - найти функцию u Ё Н, удовлетворяюшдЮ при любой Е Н соотношению / VuVpdxdy = [ fipdxdy. (34) J П;, JOh Функция и полностью определяется своими значениями в узлах сетки. Поэтому если в качестве <р брать базисные функции пространства Н (равные единице 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 [186] 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |