Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 [187] 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

в одном узле и нулю в остальных узлах и кусочно-линейные над треугольниками flh), то (34) является системой линейных алгебраических уравнений относительно значений и* в узлах. Доказательство устойчивости проводится точно так же, как и выше. При исследовании же сходимости следует дополнительно оценить норму решения в W2 в приграничной полосе Г2\Г2л. С учетом этих оценок можно получить следующее соотношение:

Wu-KWwiQ) ch,

где постоянная с зависит от нормы решения в И(Г2).

При построении проекционно-разностной схемы можно использовать более сложные конечные элементы, за счет чего может быть достигнута большая точность. Например, кроме узлов сетки, можно также в качестве узлов рассматривать середины сторон треугольников.

Пусть Н - подпространство непрерывных в Qh функций, равных нулю на dilh, и являющихся полиномом второй степени в каждом элементарном треугольнике flh- Пусть dilh = dil. В качестве базисных функций в Н можно рассмотреть функции, которые равны единице в одном узле, а в других узлах равны нулю и принадлежат Н (под узлами здесь понимаются как вершины, так и середины сторон треугольников). Тогда можно получить оценку

Аналогично могут быть построены проекционпо-разностные схемы с более высоким порядком скорости сходимости. При этом используются способы интерполяции, рассмотренные в § 5.5. Заметим, что структура матрицы системы линейных алгебраических уравнений ухудшается; а именно, возрастает количество ненулевых элементов в строке матрицы и ширина ленты.

Заметим, что в случае бигармонического уравнения и области с криволинейной границей такой подход нуждается в уточнении, так как получаемые приближения могут, вообще говоря, не сходиться к точному решению задачи при h -> 0.

Кратко осветим историю вопроса. Вариационные и проекционные методы при небольшом числе базисных функций применялись издавна, еще до появления ЭВМ. Применение ЭВМ позволило увеличить число базисных фзтгкций; при этом часто возрастало суммарное влияиие вычислительной погрешности и погрешности, возникающей при аппроксимации интегралов квадратурными суммами.

Это обстоятельство ставило ограничение на точность, с которой могли бьггь получены решения с помощью вариационных методов. Были проведены теоретические исследования, показавшие, что для устойчивости вариационных методов существенно выполнение некоторого условия на систему базисных функций, называемого условием сильной минимальности. Построение системы базисных функций, удовлетворяющей этому условию, в случае областей сложной формы иногда бывает непросто.

Параллельно шло интенсивное развитие теории и практики применения конечно-разностных методов. Если при использовании классических

§ 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными

При решении параболических уравнений, как и в случае эллиптических уравнений, переход от одномерного случая к многомерному вызывает существенные затруднения. Поскольку все принципиальные трудности возникают лишь при переходе от одной пространственной переменной к

вариационных методов для решения линейных задач возникают линейные системы уравнений с полностью заполненной матрицей, то при использовании конечно-разностных уравнений возникают системы уравнений с матрицей, содержащей относительно малое число ненулевых элементов. Это обстоятельство позволяет решать с теми же затратами процессорного времени системы уравнений с сзчцественно большим числом неизвестных. Однако в случае областей сложной формы применение конечно-разностных методов представляет определенные неудобства вследствие неоднородности построения разностных уравнений в приграничных точках.

Получивший в последнее время интенсивное развитие метод конечных элементов свободен от ряда недостатков описанных методов: он не требует специальных усилий по построению системы базисных функций, являющейся сильно минимальной, при его использовании упрощается написание уравнений вблизи границьь Матрица линейной системы уравнений содержит относительно малое часло ненулевых элементов. Большая технологичность метода позволила создать на его основе ряд промышленных систем стандартных программ решения краевых задач, в частности задач теории упругости. При использовании таких систем не требуется знание теории численных методов и тонкостей программирования. Исследователь должен лишь задать триангуляцию области, а часто система и сама осуществляет такую триангуляцию. Эти методы сходятся при меньших требованиях гладкости, чем конечно-разностные методы. В случае квазиравномерных триангуляции базисные функции метода автоматически удовлетворяют условию сильной минимальности.

В то же время увеличивается объем работы при вычислении матрицы системы уравнений. Поэтому при решении крупных задач зачастую все-таки применяют конечно-разностные методы или приходят к составлению систем уравнений с помощью аппроксимации минимизирующего функционала (или интегрального тождества) (см. § 9.12).

Традиционно для решения эллиптических задач применялись методы теории потенциала. С появлением ЭВМ они были практически вытеснены конечно-разностными методами. Однако в последнее время в вычислительную практику стал интенсивно проникать метод граничных элементов, имеющий некоторые общие черты с методом потенциала.

двум, то в дальнейшем будем рассматривать случай двух пространственных переменных.

Перейдем к построению и исследованию разностных схем. Пусть требуется найти функцию и, являюшуюся решением уравнения

= Au + f{x,t) (1)

в области Qt = л X [о, г], С1 = {х; О Xi 1, i = 1, 2} с начальными и граничными условиями

и{х, 0) = щ{х), и{х, i)2.gp = а{х, t); (2)

здесь X = (xi, Х2), Г = дПх [о, г].

Попытаемся применить к решению задачи (1), (2) методы, разработанные ранее. Введем в рассмотрение квадратную сетку с шагом h = I /М:

Пн = {х; х = {ih, jh), 0i,j М},

а на отрезке [о, г] - сетку с шагом г - T/N. Будем искать приближенное решение задачи (1), (2) в дискретной системе точек (узлов)

Qh = {{х, t); xeUh,t = nT, n = О,..., А}.

Множество Qh будем назьшать сеточной областью, а множество точек ~ {( Qhi X € flh, t - пт} при фиксированном t = пт будем называть п-м слоем.

По аналогии с одномерным слзаем построим явную и неявную разностные схемы для задачи (1), (2) и попытаемся выяснить, в чем заключается принципиальное отличие от случая одной пространственной переменной. Заменяя в узле (г, j, п) разделенной разностью --

или ----, а Лы - выражением (см. § 6)

получаем разностные схемы: явную и + - и.

Kj = a{ih, jh, кт), {ih, jh) € Гд, = uo{ih, jh)

и неявную

-i-- = An + f;\ ii,jM-i,

Uij = aiih, jh, кт), {ih, jh) e Гд, Kj = uo{ih, jh).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 [187] 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208