|
| |
|
Слаботочка Книги где В и А - симметричные положительно определенные операторы, отображающие Н в себя. Как и в одномерном случае, иногда будем различать устойчивость по начальным данным и по правой части. уР-+1 - и Обозначим и =-. Учитывая равенство = и * - ти , пре- образуем (5) к виду (Б - тА)и1 + = v . (6) При использовании схемы (3) счет ведется по явным формулам - по известным значениям ы- из (3) находятся значения и- Поэтому проблем с реализацией алгоритма на ЭВМ не возникает. Остается лишь исследовать устойчивость этой схемы. По-другому обстоит дело в случае схемы (4). Относительно и, 1 г, J М - 1, имеем систему линейных алгебраических уравнений, т.е. схема (4) неявна. Структура матрицы уравнений (4) совпадает со структурой матрицы оператора - Д (см. § 6). Поэтому при решении этой системы возникают те же трудности, что и в случае эллиптических уравнений. Напомним, что в одномерном случае проблема численного решения уравнений на верхнем слое не возникала, так как можно было воспользоваться методом прогонки. Введем понятие экономичной разностной схемы. Разностную схему, аппроксимирующую задачу со временем, называют экономичной, если она безусловно устойчива и при переходе от слоя к слою требуется количество арифметических операций, пропорциональное числу узлов на слое. (Иногда условие безусловной устойчивости в определении экономичной схемы отсутствует.) Из определения следует, что чисто неявная схема для одномерного уравнения теплопроводности является экономичной. Перед тем как заниматься построением экономичных разностных схем, исследуем устойчивость разностной схемы в общей постановке. Введем пространство функций, определенных на О.; - значение функции V € Н в узле (г, j). Скалярное произведение и норму в Н определим как {v, ад) = Е ijij = i Разностные схемы (3), (4), рассматривавшиеся выше, связывали значения приближенного решения задачи на двух соседних слоях п-м и (п -Ь 1)-м, поэтому их естественно называть двухслойными. Далее будем рассматривать двухслойные разностные схемы вида bVl-V Au = ip, (5) Положим D = В - тА. Так как гх = ---h -и оператор D симметричен, то 2t{DK+\ и+) = т{Пч4\ u+ + и ) + t{DK, <) = Поэтому, умножая обе части (6) скалярно в Н па 2ти , получим + 2r! +4; = 2r(yj , Напомним, что по определению [v, w)l) = w). lf jj = (A-u, n). Будем считать, что Z? = Б - тЛ > 0. (8) Тогда (7) можно переписать в виде \\и-+\\1 - \т1+А\иЧ\\1 + 2т\\и+\\\ = 2т{(р\ п +1). (9) Соотношение (9) является энергетическим тождеством. Так как пространство Н конечномерно, то существует постоянная к такая, что [Вг), v) k{Av, v) для всех v Е Н или, что то же самое, D < кА. (10) Так как D - D* > О, то существует оператор (матрица) D/ симметричный и положительно определенный такой, что DlDI = D. Через Dl обозначим оператор (Z?/-! g рассматриваемом случае 2т (v? , w +i)! = 2r (Z?~/V\ и из (9) следует неравенство (l -Ь - er) lib < п Ь + Фиксируя e, например, полагая е = к~1, отсюда получаем соотношение (l + ) п +1Ь<1КЬ+тк 1Ь-и связывающее нормы функции и на соседних слоях. Таким образом, 1К+Ь1К1Ь+т4¥ 1Ь-:- (11) Имеем последовательность неравенств к=п-1 к=0 Предполагая, что к не зависит от шагов сетки h и т, при пт Г получаем окончательное соотношение к=о к=о (12) n°b+crmax J/- которое означает устойчивость разностной схемы (5) по начальным данным и по правой части. Таким образом, условие D = В-тА > О является достаточным для устойчивости разностной схемы по правой части и начальным условиям. Заметим, что выражение Ellvlli- стоящее в правой части (12), является квадратурной формулой для интеграла / (/j(f)) i dt, а вы- ражение шах Hvlln-i-сеточным аналогом вюрмы шах (p(t) n-i Найдем необходимое и достаточное условие того, чтобы собственные числа оператора перехода от слоя к слою не превосходили единицы. При выполнении этого условия схема устойчива по начальным данным и норма погрешности не возрастает при переходе от стюя к слою. Для этого положим ip = 0. Применим к обеим частям (5) оператор получим Обозначим = у . Тогда = Б-2уП и последнее равенство примет вид уп+г уп гВ-IAB-ly = {Е- тВ-lAB-lYf. Оператор S = Е-тВ-/АВ! симметричен, поэтому собственные числа S лежат на отрезке [71, 72], где . iSv, v) {Sv, v) 71 = mm -.-r, 72 = max -7-r-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [188] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |