|
| |
|
Слаботочка Книги Таким образом, собственные числа S не превосходят I, если выполняется соотношение -ii veH. (13) (v, v) Преобразуя выражение {Sv,v)/(v,v) и обозначая v = BJz, получаем jSv, у) {у, у)-т{В-/АВ-УЧ, у) (Бг, z) - rjAz, z) (f, у) [у, у) [Bz, z) Поэтому (13) имеет вид [Bz, z)-r{Az, z) Правая часть неравенства выполнена всегда, поскольку А, В > 0; левая часть эквивалентна выполнению для любого z Е Н, z ф О, неравенства 2(Bz, z) - t[Az, z) 0. Последнее означает, что В А. (14) Как видим, условие (14), обеспечивающее устойчивость схемы (5), не совпадает с (8). Однако у схем, обладающих свойством (8), имеется существенное достоинство. В ряде практических задач интервал интегрирования Т уравнения (1) достаточно велик или же требуется вести счет задачи до выхода на стационарный режим. В этих случаях целесообразно использовать разностные схемы, удовлетворяющие более сильной оценке устойчивости (15) при q < 1. Обозначим (1 + т/к)~ = 5 и тк = 7. Тогда из (11) имеем + iqV-4\1----q \\A\1 + Пусть \\ip\\oo = шах < 00. Тогда из последнего неравенства получаем 1К11Ь71М1 + 9 КЬ- (15) Отсюда следует, что при \\ip\\oc < со решение задачи (5) будет ограничено на бесконечном промежутке времени при выполнении условия (8). Отметим, что из (14) ограниченность решения на бесконечном промежутке времени при наличии правой части, вообще говоря, не следует. Разностную схему (5) можно рассматривать как итерационный процесс решения уравнения Аи = ip. м-1 м-1 8 - 8 Таким образом, чтобы (14) было справедливо, достатогно выполнения неравенства 2/т8/к, т.е. явная схема (3) устюввю устойчива при Представим теперь неявную схему (4) в виде (5). В этом случае В = Е- тЛ, А = -л, причем А > 0. Таким образом, условие (14), равно как и условие (8), выполнено при любых г и /i, т. е. неявная схема (4) безусловно устойчива. Если для решения системы уравнений относительно значений решения на верхнем слое применяется так называемый марш-алгоритм в его устойчивой форме, то число арифметических операций при переходе от слоя к слою пропорционально числу неизвестных. Тогда неящная схема является экономичной. где = If. В этом случае выполнение условия В - tA>G обеспечивает сходимость итерационного процесса. Действительно, записывая уравнение для погрешности z = и - м, имеем Bzf + Лг = 0, г = - и. Из условия D = в - тА > О следует, что D определяет в Н норму, которую будем обозначать Тогда из (9) получаем 11п +11Ь+2тк+1а<1К11Ь. Отсюда (i+)iK+iib+riu +42 Kiib. (16) Введем норму = + г 1 + - j Ил; тогда из (16) следует окончательная оценка и-? (l + I) .. ? ... < (l + 1У~ \\иХ. Таким образом, итерационный метод (5) сходится со скоростью геометрической прогрессии. При этом скорость сходимости определшется величинами тики условием D > 0. Процесс сходится как в норме, определяемой оператором D, так и в норме, определяемой оператором А. Выясним, при каких условиях будут устойчивы схемы (3), (4). Схема (3) уже имеет вид (5), при этом В = Е, а А = -А. Необходимо, таким образом, проверить выполнение условия В > -А. Имеем (см. § 6) Перейдем к изучению других экономичных разностных схем для уравнения (1). Будем рассматривать задачу (1) с однородными граничными условиями, т. е. при а = 0. Пусть Л] и Л2 - операторы второй разделенной разности по направлениям xi и Х2 соответственно, т.е. Здесь, как и ранее, v - функция, совпадающая с v на О, равная нулю на dflh- Задача!. Проверить, что функция (pjSm{winih), где (/э -произвольная функция аргумента j, является собствепной для оператора Ai, а любая функция т/л sin(7rmj/t), где - произвольная функция аргумента г, - собственной для оператора А-г- Задача 2. Проверить, что функции (ртп = sin(7rm?7j) Hmiirnjh) образуют полную систему собственных функций операторов Ai и Л2. Патюжим Оператор В является симметричным и положительно определенным как произведение симметричных пшюжительно определенных и коммутирующих между собой операторов. Операторы такого вида называют расщепляющимися. Коммутируемость операторов Л] и Л2 можно проверить непосредственно; кроме того, она следует из того факта, что эти операторы имеют общую полную систему собственных функций (см. задачу 2) и, следовательно, записываются в виде {Е - pAi) = СМ С, [Е - рА2) = CAhC, где Ml. М2 - диагональные матрицы, матрица С одна и та же. Проверим, при каких р, выпитшяется условие (14). Имеем В = Е- p.{Ai + Л2) + pAiAi = Е- pis!- + MAiA2, поэтому условие (14) приобретает вид i?-/A -ь/2ЛlЛ2>-A Так как оператор Е+р?А1А2 положительно определен, то условие р > г/2 обеспечивает выполнение (14), т.е. при р, > г/2 разностная схема (5) безусловно устойчива по начальным данным. Рассмотрим алгоритм реализации схемы (5) в данном случае. Обозна- чим Z = - и представим (5) в виде (Е - pAi){E - pA2)z = Аг/ + ур . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 [189] 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |