|
| |
|
Слаботочка Книги § 8. Многочлены Чебышева 61 Линейной заменой переменных х = Н-отрезок [-1,1] можно перевести в заданный отрезок [а, 6]. В многочлене ij старший коэффициент равен (2/(Ь - а)) . В соответствии с леммой можно утверждать, что многочлен со старшим коэффициентом 1 является многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [а,Ь]. Это означает, что для любого многочлена Рп{х) степени п со старшим коэффициентом 1 справедливо неравенство max Р (ж) шах Tf(;r) = (6 - о) 2-2 . (6) [а,Ь] [аД Нетрудно проверить, что нулями многочлена т[(а:;) являются точки Ь + а Ь~а {тт{2т~1)\ ж = -+ -cos(-~j, m = l,...,n. Многочлены Tq{x) = 1/\/2, Тп{х) = Т (з;) нри п 1 образуют на L,l] ортонорми io ортонормир 1 2Т{х)Тга{х) [-1,1] ортонормированную систему с весом 2/{пу/\ - ж). Проверим свойство ортонормированности этих функций. После замены ж = cos 6 имеем П 2Т{х)Тга{х) 1 Г Второе слагаемое обращается в нуль при п, m О, если -f rn / 0. Отсюда вытекаег требуемое равенство 2Т (ж)Т ,(.т) 1 TTVl - х Пусть многочлены Чебышева вычисляются по рекуррентной формуле (1). В процессе реальных вычислений вместо значений Т (ж) получаем приближенные значения Т*, удовлетворяющие соотношениям Т* = 1, Ti=x + 6i, Т,:+1 = 2жТ *-Т,: 1+(5 +1, где 6/1 - погрешности, вызванные округлениями. Задача 3. Получить представление погрешности Щх) -Ту(ж) M(iV + l-fe)arccosx) § 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы Пусть функцрш /(ж) приближается на [а,Ь] с помощью интерполяционного многочлена степени п - 1 с узлами интерполяции xi,..., ж G [а,Ь]. Согласно (3.1) имеем где G если х G [а,Ь]. Отсюда следует оценка погрешности интер- поляции Здесь II и есть обозначение равномерной нормы: (/(ж) = sup<7(ж). [а,Ь] Займемся минимизацией правой части оценки (1) за счет выбора узлов ж1,..., Хп- Многочлен а1 (ж) = (ж - xi)... (ж - ж ) имеет старший коэффициент 1, поэтому а; (Ь - а) 2~ согласно (8.6). Если взять в качестве узлов интерполяции --b-y-cos(-j, т = 1,...,п, (2) Задача 4. Получить, используя решение задачи 2, оценку погрешности \Т*М - Т{х)\ тах \6,\ N - min iV, (7) Задача 5. Непосредственной проверкой убедиться, что в нулях многочленов Чебышева Хт = cos (jj справедливо равенство Отсюда заключаем, что при задании х в окрестности этих нулей с погрешностью S погрешность вычисления значения Тп{х) будет величиной, близкой к -===; это означает, что оценка (7) не может быть существенно улучшена. Задача 6. Пусть А - некоторое фиксированное число. Доказать, что векторы, образованные значениями многочленов Т (.г), п < N в нулях Tn{x), образуют некоторую ортогональную систему, а именно К = (6-а) 2- . Следовательно, при таком расположении узлов справедлива наилучшая из оценок, которая может быть получена как следствие оценки (1): При получении оценки (1) максимум произведения заменен на произведение максимумов сомножителей. Поэтому может возникнуть надежда получить оценку погрешности, лучшую, чем (3). Однако это не так. Если /(ж) = Оиз; + + - многочлен степени п, то / НО = Опп! = const, поэтому неравенство (1) превращается в равенство; тогда, вследствие (8.6), при любых узлах интерполяпди имеем Как уже отмечалось, важной проблемой вычислительной математики является проблема оптимизации методов решения задач некоторого класса. Общая постановка ее такова. Задается некоторый класс Р решаемых задач р. Задается некоторое множество М методов решения. Пусть е(р, т)-погрешность метода т при решении задачи р. Величину е{Р, т) = sup е(р, т) называют погрешностью метода на классе задач Р. Величину е(Р,М) = inf e(P,m) me Л/ называют оптимальной оценкой погрешности методов из множества М на классе задач Р. Если существует метод m G М, на котором эта оценка достигается, т.е. е(Р,М) = е(Р,т), то такой метод называют оптимальным. Полученное нами решение задачи об оптимизации узлов распределения интерполяционной формулы можно сформулировать в описанных выше терминах. Пусть F -множество задач приближения функций, определенных на [а,Ь] и удовлетворяющих условию / Нз:)1 -н- Пусть М -множество методов приближения, состоянщх в том, что функция заменяется ее интерполяционным многочленом Ln{x) по совокупности узлов Xi,...,Xni 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [19] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |