|
| |
|
Слаботочка Книги Рис. 10.7.1 Рис. 10.7.2 Таким образом, функция z может быть найдена из (19) за О(М) арифметических операций. Группы неизвестных, связанные уравнениями (19), объединены на рис. 10.7.2 символом ;;. Значения иР находятся по явным формулам: -u+i + TZ. (20) Последнее уравнение разобьем на два: [Е- lKl)y = Au +ip, iE-fxA2)z = y. (17) Функция д = Ап + If может быть вычислена во всех точках fi/i, т. е. можно считать ее известной. Первое уравнение (17) запишем в виде Z/m,i-2g,+y.-i .. i = l,...,M-l;i = l,...,M-l. (18) При фиксированном j система (18) относительно неизвестных yi,j, У2.]1 УМ-\,з представляет собой систему уравнений с трехдиагональной матрицей, которая может быть решена, например, методом прогонки за 0{М) арифметических операций. Решая (18) при каждом j = 1,..., М -1, найдем функцию у во всех уз-пах fi/j. Группы неизвестных, связанные уравнениями (18), объединены на рис. 10.7.1 символом -Н-. Примечание. Если решается неоднородная краевая задача, т. е. и\ ф О, то, вообш;е говоря, у [Е - - не удовлетворяют гранично- му условию ylr = о и значения ур требуется определять специальным образом. Аналогично второе уравнение (17) расписывается в виде ;.-,.+- + - jl,...,M-l; г = 1,...,М-1. (19) При фиксированном г (19) является системой уравнений с трехдиагональной матрицей относительно неизвестных {zi\, Zi 2-, , Ziu-v)- , (21) , +! п+1/2 = Ajtt +i/2 + AaM +-bv5 . 0,5г Здесь введен промежуточный вектор неизвестных м +/; первое уравнение (21) решается применением прогонки по оси Xi, а второе - применением прогонки по оси Х2- Построение методов с расщепляющимся оператором на верхнем слое в к-мерном случае можно провести по точно такой же схеме. Пусть А = Ai + А2 + + Ак, где v4j - одномерный оператор в i-м направлении. Положим В = {Е + fiAi) ...{Е + fiAk). Нужная разностная схема будет иметь ввд (Е + pAi) ...{Е + nAk) - + Аи = ip . (22) Реали:ация этого метода проводится по такому же алгоритму, что и выше. Параметры р и т выбираются из условий устойчивое и аппроксимации разностной схемы. Перейдем к рассмотрению методов решения параболических уравнений в случае, когда область Г2 имеет достаточно произвольную форму. В этом случае реализация описанной выше схемы, основанной на представлении оператора В на верхнем слое в виде произведения одномерных операторов, встречает существенные затруднения. Однако применима схема (21). Таким образом, суть представленного алгоритма заключается в следующем: при каждом j решаем систему уравнений (18) с трехдиагональ-ной матрицей. При этом изменение i соответствует изменению абсциссы; поэтому i иногда называют горизонтальной переменной функции у. Далее, используя найденное значение у, при каждом i решаем систему уравнений (19). Аргумент j в этом случае называют, соответственно, вертикальной пере1менной. После этого значение и находится по явной формуле (20). Описанный алгоритм часто называют .методсм расщеплемия. Как мы видели, основная его идея заключается в построении оператора при разностной производной по времени таким образом, чтобы этот оператор являлся произведением операторов В = В1В2, каждый из которых действует только в одном направлении, и полученная схема аппроксимировала исходную задачу. Так, в данном случае Bi = Е - /v.Aj. Задача 3. Доказать, что при достаточно гладком решении для рассматриваемой схемы имеет место аппроксимация порядка 0{fi + т + h). Таким образом, при р = т/2 погрешность аппроксимации имеет порядок 0{т + h) и схема абсолютно устойчива. Близким по своей структуре является метод переменных направлений. Суть его заключается в переходе от м к по формулам п+1/2 !i =AiM +/- + A2 -b-</p , Другая разностная схема может быть получена из следующих соображений. Представим А в виде А = Ri + R2, где Rj - R2, Ri и i?2 - правая и левая треугольные матрипъь В частности, если А = -Л*, то Ri и 2?2 можно записать следующим образом: Рассмотрим разностную схему (Е + aTRi){E + СТТЯ2) ~ + AtL = ip . (24) Оператор В = {E + aTRi){E + aTR2) будет симметричным и положительно определенным. Поэтому для устойчивости разностной схемы по начальным данным достаточно проверить выполнение условия (14). Параметр о (весовой множитель) выбирается таким, чтобы схема была устойчива и аппроксимировала исходное уравнение. Пусть в качестве примера рассматривается уравнение (1) в прямоугольнике с нулевыми граничными условиями. В этом случае А = -Л, а Ri и R2 определяются по формулам (23). Тогда В - {Е + <jtRi){E + (TTR2) = Е - бттЛ -Ь (ttRiR2. Оператор R1R2 является положительно определенным, поэтому В = В* > 0. Условие В -Л в данном случае заведомо будет выполнено при а 0,5. Такш1 образом, условие а 0,5 обеспечивает безусловную устойчивость схемы (24). Найдем порядок аппроксимации разностной схемы (24). Так как R - tij - Vi + l,j - Vi,j + 1 \( Vjj - 7 + 1, , 1 / г/ - Щ,з + \ /l2 - /Д ) h\ h то, используя формулу Тейлора, получим . , 1 f ди ди hdu hdv.\ Используя аналогичную оценку погрешности аппроксимации оператора i?2, приходим к заключению, что выражение В = Е - oт/s! + otRiR2 аппроксимирует единичный оператор Е с порядком 0{ат+ (тт/fi). Если считать, что ст > 0,5 порядка 1, то схема (24) аппроксимирует исходное уравнение (1) с порядком 0{h? + т+т/ti). Таким образом, величина т/h должна быть достаточно мала. Тем не менее схема (24) все же лучше, чем явная. Для устойчивости явной схемы требуется выполнение условия т /1/4, в то время как при а > 0,5 схема (24) будет безусловно устойчивой и шаг по времени т может быть выбран существенно большим. Например, можно взять т - afi или же г = ah. Погрешность аппроксимации по времени в этих случаях будет иметь порядок 0[к) и 0{h) соответственно. Следует, однако, отметить, что часто решение параболического уравнения по t обладает достаточным количеством производных 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 [190] 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |