|
| |
|
Слаботочка Книги и эти производные стремятся к нулю при < -> оо. Это оправдывает применение схемы (24) при расчете нестационарных задач, поскольку шаг по времени т можно брать достаточно большим. Выпишем алгоритм, соответствующий разностной схеме (24). Обозначим (Е + (JtR2)z через у. Тогда, решая уравнение [Е + (TTRi)y = -Аи + (/з , (25) можно найти значение у по явным формулам. Действительно, в cnyiae, когда fl - квадрат (что несуш;ественно), уравнение (25) в узле (г, j) имеет вид УЧ + 7(2;Уг.7 - yi-\-l,j - У1,з + \) = (-4п -I- (/з )г . (26) По известным значениям У1м, yuj-, h j = 1, , Л/, из (26) по явным формулам можно найти yi,M-i и ум-ij, г, j = 1,..., М - 1. После этого по тем же формулам находим значения У1м-2; yM-2,j и т.д. Для вычисления значения уц требуется число арифметических операций, не зависящее от шагов сетки. Поэтому вычисление значений функции у во всех уз-пах потребует 0{М) арифметических операций, что по порядку совпадает с количеством уз.Т10в на слое. Аналогичным образом решая уравнение (Е + cttR2)z = у, за 0{М) арифметических операций найдем значение z. Решение находится посхю этого простым пересчетом по формуле = и + tz. Таким образом, переход от и к и в схеме (24) требует числа арифметических операций, пропорционального катшчеству уз.пов сетки на слое, т.е. схема (24) экономична. Наиболее эффективна схема (24), если ее рассматривать как итерационный метод для решения стационарной задачи Аи - (р. В этом случае требование аппроксимации по t не играет никакой роли и параметр т можно выбирать только из соображений наиболее быстрой сходимости итерационного метода. Обычно выбирают т = 0(h) и сг = 1, чтобы выполнялось (8). Тогда операторы В и А связаны соотношением 71/гЛ Р 724, (27) где 71, 72 > О не зависят от h, и, решая стационарную задачу с помощью ите-рациогшого процесса (24), получим решение с точностью е за О \п{е~ ) арифметических операций. Задача 4. Доказать оценку (27) при 7 = 1, т = 0{h). Задача 5. Показать, что при любых ст, т > О отношение 72/71 ограничено снизу постоянной, отличной от нуля. Итерационный процесс можно ускорить, если зафиксировать В и после этого выбирать параметр т переменным. В частности, если выбирать как указывалось в § 6.6 (чебышевское ускорение), то решение стационарной задачи с точностью е может быть получено за (е)) арифметических операций. Для решения параболического уравнения в области достаточно произвольной формы суш;ествуют также и другие методы. Рассмотрим метод, который сводит исходную задачу к решению последовательности одномерных задач. Изложение метода проведем на примере уравнения (1). Представим оператор Д в виде суммы одномерных операторов Д = Li -Ь L2 = а правую часть / - в виде суммы правых частей: / = fi +/2. Левая и правая части уравнения (1) равны сумме левых и правых частей уравнения -ii-/b I.-L.ub. (28) 2 dt 2 dt Опишем переход от п-го к (п. Л- 1)-му слою. Аппроксимируем первое из уравнений (28) следуюш;им образом: +1/2 П+У2 2 +1/2 п+1/2 Второе уравнение (28) заменим соотношением п+1 п+1/2 р2п+1/2 ij ij ,n+l -2n +i-bn: (29) (30) Таким образом, алгоритм заключается в последовательном решении уравнений (29), (30). При этом вычисленное значение функции является начальным условием для следующего уравнения. Ясно, что каждое из уравнений (29), (30) не аппроксимирует исходную задачу. Найдем погрешность аппроксимации. Имеем 1ди 2 dt ди С>ж2 An-/ 1ди ди , 9 ч / Аналогично Au-f 1 ди ди , 2,4 / В общем случае фг = 0{1), поэтому и уравнения (29), (30) аппроксимируют (1) с порядком 0{1). Однако i>i + i>2 = -- + Au + f + o{h + т) = o[h + т). в этом случае говорят, что схема (29), (30) аппроксилтруегп задачу (1) в сумлшрном (или слабом) смысле, т.е. хотя каждое из уравнений (29), (30) не аппроксимирует исходную задачу, сумма погрешностей аппроксимаций этих уравнений равна 0{fi + т). Реализация (29), (30) требует на каждом шаге решения уравнений с трехдиагональной матрицей. Таким образом, этот метод применим для решения уравнения (1), когда область ii имеет достаточно произвольную форму. Остается лишь выяснить ее устойчивость и сходимость. Оказывается, имеет место Теорема (без доказательства). Схема (29), (30) устойчива в сеточной норме пространства С и при достаточно гладком решении \\u -u{nT)\\c{n,Ci{h+т), где С\ не зависит от h ит, а и{пт) значение решения и{х,т) на п-м слое. Рассмотренный метод получения разностных схем носит название метода дробных шагов или же метода сум.марной аппроксимации. Его можно применять не только в линейных задачах, но и в нелинейных. В общем случае для уравнения =Р{и) + ---Л-Р{а), (31) где операторы Р{и), вообще говоря, нелинейные и не обязательно одномерные, схема метода дробных шагов зак.т1ючается в следующем. Решение на шаге уравнения (31) заменяется последовательным решением на шаге уравнений 1 дг1, T3if \ л 1 1 = РЫ, г = 1,...,к. При этом в качестве начального условия на шаге для каждого из уравнений берется значение, вычисленное из предыдущего уравнения. В создание описанных выше экономичных методов решений многомерных нестационарных задач внесли большой вклад Е.Г. Дьяконов, Г. И. Марчук, А. А. Самарский и П. П. Яненко. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 [191] 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |