|
| |
|
Слаботочка Книги if,9)h. = hYfnQn онный процесс такой, что уже при небольшом числе итераций обеспечивается определенное сглаживание погрешности. Таким образом, решение исходной задачи сводится к решению задачи с относительно более гладким решением. Решение задачи с гладким решением на сетке с шагом h близко к решению задачи на сетке с более крупным шагом, например с шагом 2h. Предлагается решить уравнение для погрешности на более грубой сетке и затем, проинтертюлировав на исходную сетку, получить сугцественно лучшее приближение к рсшепию. Для приближенного решения задачи на сетке с шагом 2h применяется аналогичная процедура с переходом к решению задачи на сетке с шагом 4/t и так далее. Часто одна итерация на сетке с niaroM h состоит в дву- или трехкратном применении описанной процедуры перехода к решеншо задачи на сетке с шагом 2h. Рассмотрим этот метод на примере краевой задачи -и = f при О < X < 1, u(O) = п(1) = 0. Соответствующая сеточная краевая задача Ьчн. = f имеет вид: Un+l - 2Un + Un-1 г г/ 1\ п ЛГ 1 п ---/2-= }n = }{nh), 7t = l,...,A-l; ио = илг = 0. Пусть N = h 1ет1юе. Далее, как правило не оговариваясь, предполагаем что все рассматриваемые сеточные функции принадлежат подпространству функций С г, уДОВЛеТВОрЯЮПЩХ ycnOBIHO Uq = UN - 0. Опишем подробнее процедуру сведения решения иа сетке с шагом h к решению задачи на сетке с пгагом 2h. Рассьютрим итерационный процесс = и\ - T{Lhui - f ), fc = О,... ,rn ~ 1. (10) Вычитая это соотношение из равенства Uh = Uh-T{Lh4i.h-~- f), получим уравпение относительно погрешности = и - ul,: В качестве начального приближения возьмем uJl = i тогда 4=uh, г = {Е-гЬпГи. Далее в рассуждениях об уменьшении величины погрешности мы имеем в виду уменьшение погрешности решения и, относительно погрешности приближения if/j = 0. Функции ipq{n) = \/2sm~, q = I,... ,N - 1, образуют полную ортонормированную систему в пространстве функций Uh относительно скалярного произведения 9n+i + 9п +9n-i -, n - четное. nh 4 и оператор U/ перехода с сетки с шагом 2h на сетку с шагом h: ( при 11 - четном, { дп~1 + дп+1 при 11 - нечетном. 2hg2h пп I - Лемма. Справедливы неравенства mfgh\\ln \Ы\1 \Ag2h\\l \\g2hf2h- (12) Доказательство. Запишем неравенство Коши-Буняковского для скалярного произведения векторов (1/s,... ,1/s) и (oi,... ,0): Gi-f-- -Ьау ai -f -f и являются собственными функциями для оператора L/ji 2-2cos- h4>4 =--fl- Поэтому {E - tL,)<, = (l - 4т/г2 sin (11) Отсюда видно, что итеращюнный процесс (10) сходится при О < т /i/2. Если т = 9h, где 0<6<1/2не зависит от то составляюгцие погрешности, соответствуюш,ие функциям ipq со значениями q порядка N, то есть сильно колеблюгциеся, умножаются на множители сушественно меньшие единигцл. Вследствие этого и происходит определенное сглаживание погрешности. Положим далее г /г/4; тогда проводимые выкладки имеют наиболее простой вид. В частности, /17, г ч r гл ,1+1 -Ь 2U , + [b-TLh)Uh QhUh , где Qi,Uh =---, nh nil nh 4 И соотношение (11) приобретает вид QhPg = --V>Q- Обозначим Cq = 1+*° ~тг pQg2 ж и = = Jn- Таким обра- зом. Определим оператор П* перехода с сетки с шагом h иа сетку с шагом 2/i: N/2-l Просуммируем по нечетным п и добавим сумму gj. После умноже- .?=1 ПИЯ на h получим второе утверждение леммы. Если бы удалось решить точно уравнение LhrK = Q,rh, (13) то, прибавив Г/г к Ufi , мы получили бы точное решение задачи u/j. Предположим, что известен алгоритм приближенного решения уравнения L2hr2h. = g2h, такой, что приближенное решение может быть записано в виде Г2к = 2/12/1 = l2h - Sl\T2h, где и 2 - некоторые линейные операторы и \\811г2н\\2Нех\\г2н\\2Ь- (14) Перенесем правую часть (13) на сетку с шагом 2h и применим этот алгоритм к уравнению L2hr2h - lihQh \fh- Точное решение этого уравнения записывается в виде Г2н = L-lnlQrfn = L-UlQh LhUH. Проинтерполировав получившееся приближенное решение r2h = r2h - S2bT2h на сетку с шагом h, получим приближение н = ПЛг2н-8Г2н); положим Погрешность получившегося приближения равна = г - fh- Выразив эту погрешность через решение исходной задачи, получим р1 - 1 -U 2 Поэтому (gn-i + 2g + gn+iУ /9п-1 + дп + дп + gn+iV +fJn+9n +an+i \ 4 J { 4 ; - 4 Если gii eUh, TO после суммирования по четным n и домножения па 2h, получаем первое из утверждений леммы. Аналогично имеем 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 [195] 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |