Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 [196] 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208

Совпадение функции LTIifJLiiQhUh и Qi Uh в узлах сетки с шагом 2/i носит случайпьп ! характер и не имеет места в других случаях. Справедливы равенства

. 7r(iV - д)п J sin = !,Дп) при нечетном п,

ipN-q{n) - sm -j - j .

Vw/2()=f при четном n, lg

5w/2 = Слг/2 = Sg + = 1, Cq = Sj\l-q, Sq = Cpf-q-

Поэтому

Af/2-l 9=1

Согласно равенству Парсеваля

W/2~l N-i

\ы\и = E ( -r iv-,), ii- /.iu = E

q=l 9=1

Из неравенства Коши-Буняковского следует

{Cq aq - Sq aN-qf {Cq + Sq){aq + UN-q).

Вследствие (16) имеем

Cq -\- Sq С + = 1.

Поэтому

{Cq aq - SgGN-qf <: О. + UN-q

Функции ifiq являются собственными для операторов L/, и L21,:.

Справедливо равенство Поэтому

После суммирования по q получаем

Ы1н \Ы\1.

Отсюда и из (12), (14) получаем оценку

Исходя из равенств

. Г ipq{n) при четном п,

nh I COS -ipq при нечетном п

и равенств (16), подберем aq и так, чтобы при всех п выполнялось равенство

2hPq\nh = a.qipq{v) + bqipN-q{n).

Получим уравнения

7 1 ,

a-q - Од = 1 = Cg + S,j, ад + bg = COS = Cg - Sg,

И следовательно, Ug = Cg, bg = -Sg. Поэтому

N-l N~l

П2 2Л = XCOt/CcVQ - SqfN-q) = {Cq 0q Sg CgaM-q)Vq-9=1 q=l

Подставляя это разложение в (15), получим равенство

Zl = Q,r - ni,J-2h = E (У / - (ПЧ - rCqONq)) fq = q=l

= irlO ! + Sg CgaN g) ifg.

Согласно неравенству Коши-Буняковского

(c-sa, + SqcgaN-q? icgSq + SgCg){ag + aN-g\ Первый множитель записывается в виде

gUv) - (1 - yfy + г/ (1 - yf, тде у = Sg.

и поэтому

W-1 N-\

ClmYifl + 0N-,j~) 2j; , Е 9 = Smh-hWl-17=] 9=1

Отсюда получаем оценку ЦгЩ где Сщ = \/2.

Из этой оценки и оценки для следует, что

\\Rl\kiGrn + eM\k. (17)

Здесь R = u/j -- ошибка начального приближения: = 0.

Оценим величину G2. Справедливо равенство д2{у) = (1 - 2и)и, где и - у{1 - у). Согласно с1)ормуле дифференцирования сложной функции

=,42-6.)(1-2у).

Отсюда получаем, что производная функции у2(у) обращается в нуль в точках 0,1/2,1,1/2 ± il/12; поэтому, исследуя график функции f/2(y), получаем §2 = £/2(1/2) = 1/32,2 = 0,25.

Задача 10. Показать, что

при m > 2.

Подведем итог проведенных построений. Начав с приближения и = О = u/j - uii; мы получили новое приближение и\ = и/, - S°uin где ео =

52/j2Н iQhLh.

Таким образом, воспользовавшись алгоритмом уменьшения погрешности в 1/ei раз на сетке с шагом 2/г и произведя дополнительно 0{mN) арифметических операций, мы добились уменьшения погрешности на сетке с шагом h в 1/ео раз, где ео = Gm + i-

Далее с1)иксируем m = 2 и возьмем ei = 0,25. Из оценки (17) следует, что при использовании описанной процедуры норма погрешности решения на сетке с шагом Л, умножится на множитель не больший 0,5. После

Если ввести обозначение g i - тахд г(у), то при всех q будет справедливо неравенство

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 [196] 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208