|
| |
|
Слаботочка Книги 25. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1980. 26. Самарский А.А., Капорин И.Е., Кучеров А.Б., Николаев E.G. Некоторые современные методы решения сеточных уравнений. Изв. вузов. Сер. мат., 1983, N 7(254). С. 3-12. 27. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. - М.: Физматгиз, 1960. 28. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. ~М.: Мир, 1977. 29. Федоренко Р. П. Релак;сационный метод решения разностных эллиптических уравнений. ЖВМиМФ-1961, т.1, N 5. С. 922-927. 30. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. - М.: Изд-во МФТИ, 1994. 31. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. - М.: Наука, 1989. 32. Янеико Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. 33. Hackbusch W. Multi-Grid Metliods and Applications. - Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1985. --..... = Главо n ====== Численные методы решения интегральных уравнений в этой главе мы дадим краткое описание алгоритмов решения интегральных уравнений, не вникая подробно в вопросы оценки погрешности. Задача решения интегральных уравнений возникает как вспомогательная при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и как самостоятельная при исследовании работы ядерных реакторов, при решении так называемых обратных задач геофизики, при обработке результатов наблюдений и т. п. Мы ограничимся рассмотрением случая интегральных уравнений с одной неизвестной функцией и одной независимой переменной. § 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой В теории численных методов решения интегральных уравнений рассматриваются следующие типичные задачи. Найти решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода Gy= f K{x,s)y{s)ds = fix), (1) интегрального уравнения Фредгольма второго рода у -XGy = y-\ 1к{х, s)y{s) ds = fix), (2) интегрального уравнения Вольтерра первого рода Gy= Гк{х, s)yis)ds = fix), (3) интегрального уравнения Вольтерра второго рода y-XGy = y-X Гщх, s)yis)ds = fix) (4) и задачи на собственные значения Gu = Am. (5) В последнем случае шидтся числа А, при которых задача (5) имеет ненулевое решение. Воспользуемся какой-либо формулой численного интегрирования ПФ) = / ф{х) dx = Y.jUr), (6) где Cj, вообще говоря, завися-г от тп. Имеем равенство АФ) = 8т{Ф) + Пт{Ф), (7) где () - остаточный член квадратурной формулы (6). Рассмотрим для примера уравнение Фредгольма второго рода (2). С помощью соотношения (7) его можно переписать в виде у{х) ~ xY,CjK(x, - Рг,г{Шу) = fix); (8) ,7 = 1 остаточный член Rm{XKy) при вычислюпии интеграла А / К{х, s)y{.s) ds с помощью квадратуры (6) явлшется функцией переменной х. Полагая в (8) x г = 1,..., ш, получим систему уравнений - >с,к{хГ y(.f= /(4 )) + R, {XKy)\ .7=1 Отбрасывая остаточный член, приходим к системе линейных алгебраических уравнений Ш-Х2с,к{х\х )уз=1и Л = г = 1,...,тп. (9) Для решения этой задачи могут быть применены стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Будем рассматривать случай вещественных К{х. s) и /(ж). Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если ядро К{х, s) интегрального оператора G симметрично {K{s, х) = К{х, s)), то оператор Е ~ G, входящий в левую часть исходного уравнения (2), также симметричен. Однако матрица системы уравнений (9) не обязательно будет симметричной. Мы видели ранее, что решение систем уравнений с симметричной матрицей в определенном смысле предпочтительнее решения системы уравнений с несимметричной матрицей: пшре класс точных и итерационных методов, которые могут быть применены для решения таких систем. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 [198] 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |