|
| |
|
Слаботочка Книги Систему уравнений (9) можно преобразовать к виду, в котором матрица системы будет симметричной. Для этого умножим г-е уравпение системы (9) на cj; получим систему уравнений СгШ - XCiCjK (xl , 4 )г/j = Cifi, г = 1,..., т, (10) .7 = 1 уже с симметричной матрицей. Другой возможный способ симметшзации состоит в следующем. Умножим г-е уравнение в (9) на и положим /ciУi = Zj,. Получим систему уравнений - 4)zj = U. (11) 3 = 1 в случае с,- > О второй способ симметризации является более предпочтительным, поскольку разброс собственных значений у матрицы системы (11). как правило, меньше, чем у матрицы системы (10). Заметим, что в случае, когда в квадратуре (6) все веса одинаковы: с1 = -- - 4; = (Ь- )/т, (12) необходимость в таких симметризациях отпадает. Задача 1. Рассмотреть случай комплексного самосопряженного ядра К{х, s) = К{х, s). Проверить, что в этом случае при использовании описанных способов получается система уравнений с самосопряженным ядром. Конечно, как и в случае решения произвольных систем линейных алгебраических уравнегнй, при использовании методов Гаусса или квадратного корня в процессе вычислений может возникнуть операция деления на нуль или переполнение. Задача 2. Рассмотреть случай формулш! прямоугольников, когда выполнено соотношение (12), и постоянного ядра К{х, s) = К = const. Применить для решения системы (9) метод исключения Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных j/i,..., ут- Показать, что при 1 - ХК{Ь - а) е > О в ходе исключения по методу Гаусса (§ 6.1) абсолютные величины всех встречаюгцихся элементов а}- равномерно ограничены сверху некоторой постоянной к(е), зависящей только от е и не зависящей от т: b\j к(е) < оо. нахождения собственного вектора при начальном условии yf\..., yi? с положительными компонентами . Интегральное уравнение Вольтерра второго рода (4) можно записать в виде у{х)-х[ к{х, s)y{s)ds = f{x) Показать, что при 1 - \К[Ь - а) < 0. Задача 3. Показать, что при условии ЛЕК(-Г -Г)1-- >0 (13) при решении системы (9) методом Гаусса всегда 1 [е] < ос при лнобых ш, г, j, I. При расыотрешп! задачи на собственные значения (5) при аппроксимации интеграла квадратурной суммой (6) возникает алгебраическая задача на собственные значения: fc,A:(4 \xf) ,=A2/,-. (14) Для ее решения могут быть применены стандартные методы решения задач на собственные значения. В случае Cj > О и симметричного ядра К{х, s), как и выше, задачу на собственные значения можно преобразовать в задачу па собственные значения для симметричной матрицы с помощью введения новых перемешгых Jciiji = Zi. Задача 4. Пусть все CjKxf\ У ) и среди них есть ненулювые. Доказать, что максимальное по модулю собственное значение Xi задачи (14) положительно. Доказать, что среди собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, имеется вектор, у которого все компоненты неотрицательны. Указание. Один из возможных путей решения задачи заключается в рассмотрении итерационного процесса (гл. 6) применим какие-либо квадратурные формулы достаточно высокой точности, использующие значения подынтегральной функции в точках (т) (т) х\ х 1 . ьсли При вычислении интеграла используются значения подынтегральной функции лишь в точках хxf, то матрица системы уравнений (9) будет левой треугольной и отыскание решения системы (9) существенно упростится. Рассмотрим следующую схему решения задачи (4). Пусть К{х, s) и f{s) дифференцируемы I раз. Можно показать, что тогда решение у{х) также I раз дифференцируемо. Положим х* = а + (i - 1)Н, Н = {Ь - а)/{т - 1). Для вычисления интегралов / К{х, s)f{s)ds применим с1эормулу Грегори с порядком точности 0{Н{х\ - )) Такие с1эормулы определены при i 1. При i < I для вычисления этих интегралов применим какие-либо квадратурные формулы но узлам х\..., х\ с точностью порядка 0{Н) или 0{Н). В итоге получим систему уравнений (9), у кот01Юй выше главной диагонали ненулевые элементы могут находиться только в первых I строках и столбцах. Решаем систему из первых I уравнений системы (9) относительно I неизвестных ..., yi; затем находим остальные j/j, решая систему уравнений с левой треугольной матрицей. Если ядро К(х, s) и правая часть /(s) - аналитические функщш, то иногда целесообразнее использовать идею широко известного метода Батчера решения дифференциальгшгх уравнений. В этом случае получится система уравнений с полностью заполненной матрицей, но при этом погрешгюсть решения убывает как q , q < 1. - . , Г К{х, s) при S х, с ядром iv (гг, I Q дри S > ж применить описанный выше алгоритм решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Однако на таком пути мы можем получить методы с плохой сходимостью при т -> оо: погрешность квадратурной формулы (6) может оказаться большой, поскольку при s > х подьпгтегральная функция равна нулю и на всем отрезке [а, Ь\ разрывна (eaiH К{х, s) ф 0) или не обладает высокой гладкостью. Поэтому целесообразнее поступить следующим образом. Зададимся каким-либо набором точек а .т < < хг Ь. Выпишем соотношения у [xt) - \£ К{хТ, s)y{s) ds = f (xf) и для вычисления интегралов К{хТ, s)y{s) ds (15) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 [199] 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |