|
| |
|
Слаботочка Книги Аг, Ни; А,М\ А (5-а) 21 совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа при единственном, п-кратном узле интерполяции (а-ЬЬ)/2. Поэтому, естественно, при оптимальном распределении узлов интерполяции (2) мы должны иметь лучшую оценку. В самом деле, оценка ;, /-№-<2--. погрешности отрезка ряда Тейлора уступает оценке (3) в 2 ~ раз. Приведем для сведения оценки погрешности интерполяции с узлами в нулях многочлена Чебышева. Для простоты возьмем случай, когда [а, 5] = [-1,1]. Оценка!. Если /(ж) удовлетворяет неравенству sup /( )(з;) < ос, то справедливо соотношение [[/(ж) - = 0(п~ Чпп) при л,со. Оценка 2. Если функция /(ж) аналитична в каждой точке отрезка [-1,1], то \\!{x)~Ln{x)\\ = 0(5 ), где q < 1. таким образом, метод решения т определяется заданием узлов интерполяции XI, х-п- Наконец, пусть мера погрешности е(р,т) = / - Согласно (1) имеем С другой стороны, для задачи приближения многочлена Pn+l{x) = x + , относящейся к рассматриваемому классу, имеем е(р, т) - Следовательно, е(Р,т) : Как мы видели выше, е(Р,М) = infe(P,m) = inf m :ri,...,a-,; Таким образом, способ интерполяции по узлам многочлена Чебышева (2) является оптимальным в рассматриваемом смысле. В заключение произведем сравнение оценки (3) с оценкой погрешности разложения функции в ряд Тейлора. Согласно результатам § 6 отрезок ряда Тейлора § 10. Конечные разности Пусть узлы таблицы Xi расположены на равных расстояниях: Xi = Хо + ih, fi - соответствующие значения функции; величину h называют шагом гплблицы. Разности /г+1 - fi называют разностями первого порядка. В зависимости от точки, к которой ее относят, эту величину обозначают: Д/ - разност.ь вперед, Vfi+i разност,ь назад, <5/j+i/2 = fl, 12 - Центральная разност.ь. Таким образом, /,+ 1 - fi = Afi = Vfi+, = efi,/2 = fhi/2- (1) Разност,и высшего порядка образуют при помощи рекуррентных соотношений = Д(Л -\Л) = Д -г+1 - А -\Л-, -/, = ei6 -\fi) = 6-fi 2 - S-4i-y2, /то j-m-l fm-1 >i+l/2 Jj-l/2- Последнюю оценку можно конкретизировать. Пусть /(z), z = x+iy~ функция, аналитическая в эллипсе на плоскости {х,у) с фокусами в точках -1,1; тогда - = 0(с ), где с > 1 -сумма полуосей этого эллипса. Таким образом, при интерполяции по узлам многочлена Чебышева погрешность автоматически уменьшается, если алгоритм применяется к более гладкой функции. Такие алгоритмы называют ненасыщаемыми. Если узлы интерполяции распределены существенно иначе, например равномерно, то даже для аналитической функции погрешность интерполяции может стремиться к бесконечности с ростом числа узлов. Например, для функции f{x) = {1 + 25х)~ имеет место соотношение \\f{x)-Ln{x)\\ Аа , А>0, а > I. Задача 1. Пользуясь формулой (8.8), показать, что интерполяционный многочлен с узлами в нулях многочленов Чебышева записывается в виде Lnix) = Ща,Т,(х), а, = 1± Пх,)Т, () Такая запись интерполяционного многочлена позволяет быстро и с малой чувствительностью по отношеншо к вычислительной погрешности вычислять его значения (см. § 4.8). Таблицу разностей обычно располагают в виде
В некоторых интерполяционных формулах наряду с упомянутыми выше величинами используются средние арифметические двух последовательных величин одного и того же столбца: Г = (/1/2 + / i/2)/2npH т нечетном, ST+l2 = + при т четном. Лемма 1. Разности т-го порядка выражаются через значения, функции по формуле fi = i-iyCU+m-j, где Cm ~ коэффициента бинома Ньютона. Доказательство проводим методом индукции. При m = 1 соотношение (2) выполняется согласно (1). Пусть оно доказано при т = I. Имеем 3=0 3=0 Собирая коэффициенты при одинаковых Д и пользуясь равенством получим требуемое выражение для величины A~fi. Лемма доказана. Из (2) следует, что оператор конечной разности является линейным. В частности, из (2) имеем Аг = fi+2 - 2/i+l + h Аг = /г+3 - 3/i+2 + 3/i+i - /i, AVi = fi+i - 4/i+3 + 6Л+2 - 4/i+i -b Si. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |