Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 [201] 202 203 204 205 206 207 208

Рассмотрим простейший случай. Пусть в (1.С) применяется формула прямоугольников

система уравнений (1.9) имеет вид Л

или в векторной форме

у - Л/Г( у = f.

(10)

Пусть m = si, I целое, s нечетное. Определим матрицу 5* размерности т х т по правилу: ее элементы Sij равны

где .т(\, j, :i4(7u,8,j)) -ближайшая к (ж , ж ) из точек (.т х- ). Близость измеряется как максимум моду.пей разностей первых и вторых компонент. Таким образом.

b - а 21

(напомним, что s нечетно). Задача 1. Показать, что S G М .

Далее вводим новый вектор неизвестных z = у - XSy (аналог перехода к уравнению (8)) или умножаем обе части системы (10) слева на матрицу (Е - XS)~ (аналог перехода к уравнению (9)). В обоих случаях получае.м новую систему уравнений вида

u-Pu=g. (11)

Справедливо следующее утверждение. Если ядро К{х, s) непрерывно, то

ЦРЦоо со{1), со{1) -+ О при I -> оо.

Таким образом, получаем систему уравнений, для решения которой может быть эффективно применен метод простой итерации.

При реальном решении задач часто в явном виде системы уравнений (8), (9), (11) не выписываются; на каждом шаге необходимые вспомогательные величины, например в случае (11) значения векторов (Е - XS)~h при различных h, вычисляются заново. В результате этого трудоемкость метода оказьшается довольно малой.

§ 3. Интегргшьные уравнения Фредгольма первого рода

Задача решения иитегра.льного уравнения Фредгольма первого рода

Qy= rK{x,s)y{s)ds=f{x) (1)

относится К классу некорректных задач.

Поясним, что это означает. Пусть ядро К{х, s) вехцественно и симметрично, т.е. K{s, х) = К{х, s). П1)едположим также, что К{х, s) и f{x) непрерывны. Тогда суш,ествует полная ортонормированная система собственных функций (/? оператора Q:

Qifin = / К{х, s)ipnis)ds = Хп(рп{х),

(Vb Vj) = / ipi{s)ipj{s)ds = 6j,

где - символ Кронекера. При этом

К{х, s) = XnPn{x)(pn{s),

Рассмотрим, нанример, дискретный вариант перехода к системе (9). Имеем систему

{Е - XSy (в - A/ffjy = {Е- XSyi. Итерационный процесс записывается в виде

Вычисление вектора w = требует 0{iiir) арифметических

операций.

Вектор z = - AS) w находим на каждой итерации, решая систему уравнений

Z - ASz = w

с матрицей S G Л/ .

Вычисление коэс11фициентов системы (5) требует 0{1т) операций и при irs-вестных Aj вычисление z требует 0{1т) операций. Таким образом, при I = 0{у/т) на каждом шаге производится 0{in) операций, по порядку столько же, сколько и в методе простой итерации.

Из предыдувцего соотнопгения следует, что

\\Kf = EA

и, следовательно, А -> О при п -> оо.

Рассмотрим случай, когда A,j ф О при 1 п щ и все А = О при п > По- Тогда ядро имеет вид

К{х, s) = YXiipn{x)Pn{s), т.е. является вырожденным. В случае вырожденного ядра

/ К{х, s)y{s)ds = 2А / (pn{x)ifinis)y{s) ds = 2А ((/9, у)п{х) = f{x).

п=Л п=1

Следовательно, задача (1) может иметь репгение только в том случае, когда f{x) является линейной комбинацией ipi{x),..., (рпо{х), т.е. записывается в виде

fix) = Yfnfnix).

Задача 1. Проверить, что этим решением является

по г

yix) = yoix) = -ipnix). n=i

Задача 2. Проверить, что любая функция yix), представимая в виде

yix) = yoix) + (nfnix),

где E c p < oo, также будет решением уравнения (1).

Таким образом, в рассматриваемом случае задача (1) может не иметь решения; в случае, когда она имеет решение, это решение неединственно.

сходимость ряда в правой части понимается в норме:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 [201] 202 203 204 205 206 207 208