Слаботочка Книги Рассмотрим случай, когда все Л ф 0. Если / = d.x < оо, то /(ж) представима сходящимся в норме пространства L2 рядом Фурье оо оо /(ж) = CniPn{x), Сп = if, ifn), = Iff. n=i n=l Здесь и далее сходимость рядов понимается в смысле нормы простран- ос 2 ства L2. Положим S = Задача 3. Доказать, что при 5 < ос функция у{х) = -ipnix) явля-ется решением уравнения (1). Задача 4. Доказать, что при S = оо задача 1 не имеет решения. Задача 5. Пусть все Хп ф 0. Показать, что задача (1) не может иметь двух различных решений (решения, отличаюхциеся на множестве меры нуль, считаются совпадающими). Таким образом, возможна следующая ситуация. Задача (1) может имет,ъ не более одного решения, однако при этом решение существует лишь для множества правых частей, удовлетворяющих условию S < оо. Задача 6. Рассмотреть случай решения уравнения (1) описанным выше методом, когда имеется бесконечное число Л , отличных от нуля, и бесконечное число А , равных нулю. При изучении многих задач, в частности в задачах интерпретации результатов наблюдений, или, как говорят, в задачах их обработки, часто возникает следующая ситуация. Имеется некоторая функция у{х); мы м в значения наблюдаем не ее, а функцию f{x) = / К{х, s)y{s) ds, приче этой функции вносятся возмухцения 5f{x). Таким образом, задача rKix,sMs)ds = fix) имеет решение, но нам реально требуется решать задачу K{x,s)y{s)ds = fix), (2) где f{x)=f{x) + 6f{x); норма 6f погрешности измерения f{x) мала: 115/()1Ке- (3) Пусть 6f{x) = yanfn(x)- Условие (3) означает, что lap е. рас- Рассмотрим сначала случай, когда все А ф 0. Если ряд ходится, то уравнение (4) не имеет решения. Если даже этот ряд сходится, то нельзя гарантировать, что погрешность 6у[х) будет стремиться к нулю при е -> 0. В самом деле, среди всех правых частей 8f с е имеется правая часть 8fn - eipn{x), соответствующая чшсому и, что А е. Тогда 8у = -iPn[x), т.е. \\6у\\ = е/\Хп\ > 1. Д.пя решения рассматриваемой задачи можно применить метод регуляризации по Тихонову. Никто не обязывает нас непосредственно решать задачу (2) с возмущенной правой частью. Можно попытаться заменить эту задачу некоторой близкой задачей, решение которой будет б.пиз-ко к у{х). Мы уже изучали некоторые способы регуляризации на примере решс-ния систем .линейных уравнений. При решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода в качестве такой близкой к (1) задаче рассмотрим уравнение + / К{х, s)y {s)ds = fix), р>0; параметр р иногда называют параметром регуляризации. Теорема. Пусть все А > О, оо оо у{х) = YyMx), \\yf = JZy-l < °°- n-l n=] Тогда справедливо неравенст,во Ь/г - у\\ А*), где ш{е, р) О при е/р, р О (ш(е, р), вообще говоря, зависит, от у{х)). Доказательство. Сравним решение уравнения (5) с точным решением задачи (1). Имеем fix) = YXnynfnix) = yJnfnjx), Разность между решениями задач (2) и (1), которую можно записать в виде 6у{х) = у{х) - у{х), является решением интегрального уравнения К{х, s)5y{s)ds = 5fix). (4) где fn = ХпУп, Уп = {у{х), (рп{х)) и fix) = if +an)(pnix). Подставляя Ур{х) = ynfnix) в (5), получим оо оо Yifi + Хп)уп(рп{х) = ifn + ап)<Рп{х). Таким образом, fn +(п /7, + А Рассмотрим разность КУп + an ,tM + An 1Л + Х. R,ix) = у,{х) - у(.т) = Е (- Уп) Ых). п=1 Чп{х). Имеем равенство КУп + п о/п- 1муп -Уп = fJ.+ Хг Таким образом, погрешпость R,j,{x) можно представить в виде суммы двух слагаемых RJx) и Rj{x): R,Ax) = RAx) + Rf,{x), Вследствие ортонормированности системы функций ipn{x) имеем IIKjII = /7,-Ь А mlw = -1Уп /7, + А Поскольку /7., Хп о, то + А /7. и поэтому \\К\\ Е 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 [202] 203 204 205 206 207 208 |
|