|
| |
|
Слаботочка Книги Перейдем к оценке i?J. Рассмотрим сначала более простой и относительно часто встречающийся случай, когда дополнительно выполнено условие = Ро < оо- Тогда \\Ri\\ = pFo. Из соотношений (6), (7), (9) следует, что ojie, 1л) = - + pFo. (10) Следовательно, при дополнительном предположении (8) теорема доказана, поскольку Д Ка;(е, p) = ~ + pFo А* и oj{e, ц) -> О при е/р, р -> 0. Таким образом, при достаточно малых /г, е/р мы получаем регпение задачи с малой погрешностью. Для получения наилучшей оценки стремления погрешности к нулю найдем mina;(e, и). В точке минимума п = ро имеем и) =-- Ч- Fq = О, /о т.е. Ро = y/e/Fo. Из (10) получаем, что при р = /e/Fq \\R \\ 2VePb 0. Проведем теперь доказательство теоремы без предположения (8). Представим выражение в виде Справедливы оценки р + Хп RhN - YZ P + Xn где F?{N) = Е Rl,n Е n=n+\ Покажем, что -> О при /и -> 0. Для этого достаточно показать, что для любого > О существует /и() такое, что \\Rl\\<,6 при AiM). Возьмем произвольное > 0. Поскольку ряд Iz/yJ сходится, то су- 77.=; 1 ществует N{5) такое, что оо 2 Е \уп\\- 7г=Л(г)+1 Если 1 [li{5)f = бI {2{FdN{6))f), RIj,5\I2 и \\Ri\\ = sJRIn+4,n /Sl2 + 52 = . Таким образом, имеем + И.МО при Таким образом, утверждение теоремы справедливо и без предположения (8). Описанный выше метод регуляризации применим и в случае, когда некоторые из А,1 могут обращаться в нуль. Пусть N\ - множество п таких, что Л > О, Ло - множество п таких, что A,i = 0. (Каждое из этих множеств может быть как конечным, так и бесконечным; одновременно оба конечными быть не могут.) Если у{х) = Xj/ 93 (a;), El?/ ! оо -решение уравнения (1), то при Е °° функция E(?/n+° )vn() также бУдет решением уравнения (1). neNo п Положим у[х) = ynVn{x); согласно вышесказанному у{х) также являет-ся решением уравнения (1). Задача 7. Пусть у (ж) у (ж)-решение уравнения (1). Показать, что 1у > (11) Решение уравнения (1) с минимальной нормой (в случае неедииственного решения) называется порлшльпьш. Из (11) следует, что уо{х) - порлшльпое решение задачи. Теорема. Пусть у{х) = Уп>Рп{х), (у°Р = г/п < оо ~ реше- Hue уравнения (1). Тогда справедливо неравенст,во - у\\ а;(е, р), где а;(е, /и) -> О npxi е/р, р -> 0. Доказательство несущественным образом отличается от проведенного выше в случае, когда все > 0. Решение у{х) задачи (1) записывается в виде у\х)= Y,ylfn{x) = Yynfn{x), Yn = у° нри nENi, О при п Е Nq. Погрешность у{х) - у{х) запишется в виде оо . уА)-уЧ) = Т.[ p-hXn -Yn]fn = Si- S2, 1=1. [j - Уп fn. S2=l -fn. Оценка для слагаемого 5*2 имеет вид 11211 = neNo Оценка для Si производится так же, как и в случае доказанной ранее теоремы. Метод регуляризации применяется для решения самых разнообразных задач, в частности нелинейных. Рассмотрим случай, когда ядро К{х, s) несимметрично. Определим оператор Q* соотношением *у = K{s, х) (s) ds. Обозначим через Уц{х) решение уравнения тх) Н- Q*Qy = Q*nx). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 [203] 204 205 206 207 208 |