|
| |
|
Слаботочка Книги Выберем параметр р = р{е) из условия \\Qy(e) - /II = е. Справедлива Теорема (без доказательства). Пуст,ъ уравнение (1) разрешимо и у{х) ~ нормальное региение уравнения (1), т. е. региение с минимальной нормой. Тогда \\у,(.) - у\\ -+ О при е -+ 0. Литература 1. Березин И. С. Жидков Н. П. Методы вьпшслений. Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962. 2. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный 11. И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. - Минск: Наука и техника, 1984. 3. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач.-М.: Наука, 1987. 4. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики.- М.: Наука, 1984. 5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986. 6. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач -М.: Изд-во МГУ, 1994. Заключение Мы закончили обсуждение традиционных вопросов теории численных методов. При этом мы, возможно слишком часто, обращали внимание на подводные камни , встречающиеся при ирименеьши того или иного численного метода. У читателя могло возникнуть превратное впечатление, что применение численных методов для решения реальных задач настолько сложная и безнадежная задача, что от него следует отказаться. Чтобы исправить такое впечатление, посмотрим на этот же вопрос с оптимистических позиций. Существует большое чиаю задач, где есть хорошо отработанные численные методы и созданные на их основе стандартные программы решения задач. Стандартные программы решения многих типов прикладных задач входят в математическое обеспечение, поставляемое вместе с ЭВМ. Если вам впервые встретилась единичная задача, то, как правило, целесообразнее воспользоваться стандартной программой или самому составить программу, основанную на простейшем методе решения. При решении единичных задач, требующих умеренного объема вычислений, часто идут на более чем 100-кратное увеличехше объема вычислений но сравнению с наиболее эффективными методами, лихнь бы побыстрее получить результат, воспользовавшись при этом стандартной программой или алгоритмами, для реализации которых можно быстро составить и отладить программу. На практике регулярно встречаются задачи минимизации функций большого числа неременных, в которых применение стандартных программ не приводит к положительному результату. Тем не менее, опыт авторов показывает, что при решении новой задачи надо все равно начинать с попытки использовать стандартную программу. Если, например, в 30% случаев применение стандартных программ оказывается эффективным, то их применение заведомо можно считать оправданным даже в том случае, когда использование стандартной программы не приводит к положительному результату; нри обращении к стандартной программе будет составлено большое число блоков окончательной программы и зачастую будет накоплена полезная информация о свойствах минимизируемой функции. Среди пионеров использования вычислительной техники встречается убеждение, что чужими стандартными программами пользоваться нельзя и программу всегда следует писать самому, заново. Такое суждение было оправдано на первоначальном этапе использования ЭВМ, когда теория численных методов была развита недостаточно и созданные на ее основе алгоритмы часто были ненадежными. При современном уровне теории численных методов и жестких требованиях к гп.ест.ированию программ с такой точкой зрения согласиться нельзя. Рассмотрим ситуацию, когда требуется путем численного эксперимента исследовать какой-либо физический процесс. Часто, пабив много шишек и потратив иногда годы на расчет сложных моделей, начииаюш,ий исследователь приходит к пониманию того, что целесообразнее было начать с расчета простейшей модели и изучать ее с помош,ью простейших проверенных методов, иногда требуюш,их повышенных вычислительных затрат. Лишь в случае полного доверия к постановке задачи имеет сплсл заниматься расчетом сложной модели с применением громоздких по своей структуре методов. Таким образом, на первоначальном этапе исследования задачи обычно мы имеем дело с простейшей моделью и простейшими методами решения, часто основанными на использовании стандартных программ. Если же мы начинаем исаюдование задачи с изучения аюжных моделей, то скорее всего мы поступаем в чем-то неправильно. Целесообразнее переходить к рассмотрению более аюжных задач и применению более сложных методов, имея за плечами опыт использования ЭВМ при решении простейших задач простейшими методами, поскольку при такой поаюдо-вательности действий использование более сложных численных методов уже не будет казаться чрезмерно трудной проблемой. Рассмотрение самими математиками постановки прикладной задачи с ее истоков, с простейших моделей, еш,е важно и в связи со cлeIyюш,им обстоятельством. Часто, стремясь приспособить задачу для численного решения, специалшст, не знакомый с численными методами и возможностями ЭВМ, исходит лишь из сложности внешнего вида математической постановки. В результате этого иногда а) происходит замена исходной задачи задачей, не имеюгцей к ней отношения, б) задача, передаюш,аяся численному решению при возможностях современных ЭВМ, становится задачей, не поддающейся такому решению. Еще один довод в пользу более всестороннего изучения постановки задачи состоит в следующем. Часто в процессе построения простейшей модели мы получаем представление о том, в каком направлении будет идти усложнение метода и программы решения задали. В результате этого мы сможем заложить в исходный вариант программы, предназначенной для исследования простейшей модели, возможности для дальнейшего усложнения программы. Во всех случаях целесообразно составлять программу поблочно. Дело в том, что при решении сколько-нибудь сложных задач мы заранее часто не можем сказать, будет ли выбрашхый нами метод решения подходящим для решения этой задачи. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 [204] 205 206 207 208 |