|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 Лемма 2. При ж, = хо + ih справедливо равенство nxf,...;x,,n) = j. (3) Доказательство проводим по индукции. При m = 1 имеем ft \ --1/2 J(Xi; Xii) = -- = -г-. xi+i - Xi h Предположив, что соотношение (3) верно при всех т Z, имеем /(ж+ь ...; Xi+i+x) - /(ж,;...; ж,+() /(ж;...; ж,;+г+1) = ж+;+1 -ж. + + 1)! таким образом, (3) справедливо при m = / + 1. Лемма доказана. Согласно (5.4) имеем /(ж;...; .7,-,+m) = -, где ж,- С Сопоставляя это равенство с (3), получаем А Л, = V-/,+ = /,+ ,/2 = /.rV2 = / НС)- (4) Следствие. Конечные разности п-го порядка от многочлена степени п постоянны, а разности любого более высокого порядка равны нулю. Рассмотрим влияние погрешности какого-либо значения fi на конечные разности различных порядков; пусть вместо fi стоит fi + е. Тогда имеем таблицу разностей -3/2 /г-1 , fli + е Si + e ff-2e Л+1/2 ~ h+3/2 fi+1 Мы видим, ЧТО в соответствии с (2) на разности порядка т погрешность распространяется с коэффициентами {-ХуСп- Если функция достаточно гладкая, то ее разности не очень высокого порядка могут оказаться малыми. В то же время на их фоне величины Се будут выглядеть достаточно большими. Из наблюдений над таблрщей разностей можно указать значение функции, содержащее погрешность, и исправить его. д% = 1 lo- /1/2=2 lo- if/2 = 12 10-5, /1/2 =-23 lo- 2 = lllo- /fj/2 = i-io- Если бы какое-либо значение /, содержало относительно большую погрешность е. то в третьих разностях это обстоятельство проявилось бы в наличии величин вида е, - Зе, Зе, -е. В рассматриваемом случае третьи разности практически равны нулю, за исключением 2, /7/2, /9/2-которые примерно имеют вид е, -2е, е, где е= 11-10-. Это наводит на мысль, что была допущена погрешность при вычислении значения /7/21 которая и имела следствием эти возмущения в третьих разностях. Этот прием широко использовался при ручном счете для устранения случайных погрешностей расчетчика и на первом этапе использования ЭВМ, когда ЭВМ были малонадежны. Существовавшая на первом этапе использования ЭВМ общая рекомендация по устранению ненадежности заключалась в следующем. Задачу предлагалось решить два раза. В случае несовпадения результатов полагалось просчитать задачу повторно, пока результаты двух расчетов не совпадут\ Описанный выше метод исправления таблиц позволяет в такой ситуации уменьшить объем вычислений примерно вдвое. Пусть требуется составить таблицу какой-либо гладкой функции, ка-л<;дое вычисление которой обходится очень дорого. Вместо того, чтобы считать каждое значение дважды, просчитываем сразу всю таблицу, составляем (вручную или с помощью ЭВМ) таблицу разностей и выявляем значения, которые нужно исправить (или повторным расчетом, или описанным выше приемом исправления таблиц). В настоящее время описанный прием используется для выявления погрешностей в результатах измерений. § 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом Поскольку таблицы значений функций с постоянным шагом наиболее употребительны, приведем конкретные расчетные формулы для таких таблиц. Если узлы интерполирования выбираются вблизи точки ж, где вычисляется значение функции, то промежуточная точка С в оценке остаточного члена (3.1) также находится вблизи *очки х. Таким образом, величина / НО изменяется не очень сильно при выборе узлов в окрестности точки х. Точно так же можно обнаруживать погрешности, имевшие место при составлении таблицы разностей. Пусть, например, 1ТОЧНЫМ членом Следовательно, решающее влияние на значение погрешности оказывает величина KHI = Д 3;-Xj, т.е. произведение расстояний от точки х до узлов интерполирования. Величина \ijjn{x)\ будет минимальной, если в качестве узлов интерполирования для нахождения /(.т) мы возьмем п узлов, ближайших к х. Для этого при четном п = 21 следует взять по / узлов справа и слева от точки X. При нечетном п = 21 -\- \ следует взять узел, ближайший к ж, и по / узлов слева и справа от него. Если точка х находится вблизи одного из концов таблицы, то это правило несколько изменится. При интерполировании в начале или конце таблицы принято записывать интерполяционный многочлен в виде так называемых формул Ньютона для интерполирования вперед или назад. Пусть L (ж)-интерполяционный многочлен Лагранжа по узлам XQ,...,Xn-\- Согласно (5.3) имеем Ln{x) = /(.то) + /(жо; xi){x - жо) -)- + /(.то;...; ж 1)(ж - жо)... (ж - Жп-г)- Произведем замену переменных х = х + М и перейдем согласно (10.3) от разделенных разностей к конечным. Получим +ht)=fo+fitr\j--t;). (1) Остаточный член (3.1) представится в виде л.) ~ b w =/ (О - - Формулу (1) называют интерполяционной формулой Ньютлна для инт.ер-полирования вперед. Если мы произведем такую же замену переменных в интерполяционном многочлене Ln{x) по узлам .eq, ж 1,..., ж ( 1): АДз;) = /(жо) /(жо; ж 1)(ж - жо) + - -t- /(жо; -. -; .т ( 1))(ж - жо)... (ж - ж .( 2)), то получим интерполяционную фор.мулу Ньютона для интерполирования назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |