|
| |
|
Слаботочка Книги принять Мп к ст. Мп = шах . Поэтому при малых h можно Часто приобретает особо важное значение малость степени полиномов, приближающих функцию. Уменьшения степехш таких полипомов без потери точности иногда можно достигнуть, образуя линейные комбинации интерполяционных полиномов. Рассмотрим простейший из таких способов приближения функций. Требуется приблизить функцию на отрезке [xq, xvy+i] многочленом второй степени. Выпишем интерполяционную формулу Ньютона третьей степени по узлам .-ry-i, з;, x+i, 3;+2i взяв узлы в последовательности Xq, Xq-if.\, Xq-l, И В ПОСЛСДОВатеЛЬНОСТИ Xqi, Ху, Xq+2, Х(/~1- ИмССМ Пх) = РЦх) + г\хУ, (3) 3 и = fiXg) + f{Xq\ Xq+T)[x ~ Xq) + f{x ; Xq+V, Xq-l){x - Xq){x - Xq+i) + + f{Xq; Xq+i; Xg i; Xq+2){X - Xq){x - Xq+i){x - Xq-i); -4!-{x-Xql){x-Xq){x-Xq+l){x-Xq+2); Пх) = РЦх)+Ах); РЦх) = f{Xq+l)+ f{Xq+i; Xq){x-Xq+i) + + f{Xq+i; Xq; Xq+2){X - Xq+i){x - Xq) + (5) + .f{Xq+i; Xq; Xq+2; Xq]){x - Xq+l){x - Xq){x - Xq+2); r{x) = 4P( - Xg i)(x - Xq){x - Xq+l){x - Xg+2)- Поскольку интерполяционный многочлен третьей степени, совпадающий с функцией в четырех узлах, единствен, то РзЧж)=Р(х), H(x)=rV) и /Ф(С1) = /(ЧС2)- Образуем полусумму равенств (4), (5). Так как Рз(ж) = Рз(ж), в левой части будет стоять многочлен Рз(х); при вычислении правой части Эти формулы, в частности, используются при построении методов решения дифференциальных уравнений. Таб.пицы конечных разностей так же, как и та-6.ПИЦЫ разделенных разностей, используются д.пя оценки производных функции. Если / (з;) непрерывна, то справедливо равенство lim ст = Л/ ; здесь образуем полусуммы от соответствующих слагаемых; введем обозначения: ж,+1/2 = X, + h/2, /./21/2 = (/f + Лу+1)/2- Получим Рз{) = Pfg+1/2 + 1д+1/2~Чх - .Tg+i/2) + /9+1/2/г~ (2- - Х{Х - Хх){х - Жд+1/2). Обозначив первые три слагаемые в правой части последнего равенства через В2{х), соотногиенпе (3) запишем в виде fix) = B2ix) + Щх), B2ix) = /5+1/2 + !\\I2~ - 29+1/2) + Pfl+\i2h~i - ч) - (6) Rix) = fg+i/2h~ix - a;,)(з; - Xg+i)ix - 3:5+1/2) + /(4) (A) (7) + ix - Xg-X)ix - Xg)ix - Xg+X)ix ~ Xg+2)- Многочлен B2ix) называют интерполяционным много-членом Бесселя. Если подходить формально, то этот многочлен второй степени не является интерполяционным, поскольку он совпадает с /(.т) только в точках В следующем параграфе будет видно, что использование многочлена Бесселя дает определенные преимущества по сравнению с непосредственным использованием интерполяционного многочлена второй степени. § 12. Составление таблиц Рассмотрим следующую задачу. Требуется построить таблицу значений некоторой функции так, чтобы погрешность при интерполяции значений функции многочленом заданной степени т не превосходила е. В этом случае говорят, что таблица допускает интерполяцию степени т (с погрешностью е). Таблицы, выпускаемые для широкого круга пользователей, обычно составляются так, чтобы они допускали интерполяцию первой степени, иначе - линейную интерполяцию. Примером такгос таблиц могут служить таблицы В.М. Брадиса, известные из школьного курса. В дальнейшем рассматриваем случай таблицы с постоянным шагом. Для вычисления значения /(ж) при помощи такой таблицы берутся узлы Xq и Ж9+1 справа и слева от точки х: Хд < х < Xg+i (они будут ближайшими к х); затем fix) заменяется интерполяционным многочленом первой степени по этим узлам (для удобства обозначаем х = Xg+th): fix) L2ix) =fg + /,Vi/2*- Погрешность этой формулы 2*(-1) Эта величина не превосходит е, если t{t-l} max j/ (C) imax *(*-!) достигается при t = 1/2 и равен 1/8. Таким образом, доста- [0,1] точно выполнения условия тах/ (С) h/8e. Пусть мы хотим составить или ввести в машину таблицу sin.T на [О, 7г/2] так, чтобы погрешность линейной интерполяции не превосходила 0,5 10 ~*. Поскольку max(sinx) 1, то из (1) вытекает требование на шаг таблицы /180,5-10 или /1 0,002. Часто требование допустимости линейной интерполяции является слишком жестким и вместо него требуют допустимой квадратичной интерполяции (т.е. интерполяции многочленом второй степени). Простейшим случаем квадратичной интерполяции будет интерполяция многочленом Лагранжа по трем узлам. Пусть - узел, ближайший к х, т. е. \х - Хд\ /г/2. Имеем fix) Ых) = /, + + (2) Остаточный член этой формулы fix)-Lsix):=fHC)h. Чтобы таблица допускала квадратичную интерполяцию (2), достаточно выполнения условия Так как max tl/2 в виде tit-1) = -, то это требование на шаг перепишется 16 /()(С) hyi68 в конкретном случае при fix) = sinx, е = 0,5 - 10 получаем h < 0,02. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |