|
| |
|
Слаботочка Книги Рассмотрим другой способ замены функции многочленом второй степени. Пусть X G (.Tq, Xq+l), X = Xq + lit; ПОЛОЖИМ f{x) B2{X) = + /,Vl/2(* - 1/2) + 2 *(*-!) т.е. заменим f{x) многочленом Бесселя второй степени (11.6), выписанным по узлам Xq-i, Хд, Хд+1, Хд+2- Согласно (11.7) остаточный член (4) есть 3 (-1)(-1/2) (4у...4(-1)(-2) Так как /+1/2 = ffHC)-, то для допустимости интерполяции по формуле (4) достаточно выполнения соотношения + max 0<t<l tit-l){t-l/2) Поскольку 0<t<l t{t-l){t-l/2) 0<t<] 72л/з oti г{1-т-2) TO интерполяция no формуле (4) допустима, если max/()(C)/ 3max/W(C) ,4 72x/3 128 При малых /i главной частью является первое слагаемое; оно меньше, чем левая часть (3), в 9л/3/2 = 7,794... раз. Следовательно, при малых h для выполнимости (5) можно взять шаг в ;= у/9л/3/2 1,98 раз больше, чем для выполнимости (3). В рассматриваемом примере условие (5) имеет вид /iV72\/3-Ь 3/i/128 0,5 10 Решая это неравенство, получим h Iiq = 0,038.... Заметим, что при ручном счете шаг h = 0,038 неудобен вследствие некруглости этого числа. Поэтому при составлении таблиц его заменили бы заведомо на меньшее, но более круглое число 0,03. В многомерном случае иногда целесообразно дальнейшее увеличение степени используемого интерполяционного многочлена. Xl - Xq Xi - Xq r){\Po(x)\ + \P,{x)\)=rj. § 13. О погрешности округления при интерполяции Предположим, что выбран некоторый способ интерполяции. Выше мы получили некоторое представление о погрешности, являющейся следствием замены функции многочленом. Однако существует еще одна причина погрешности, в частности вгаедствие округления этих значений. Пусть требуется вычислить значение /(ж) по формуле являющейся общим видом рассматриваемых нами интерполяционных формул. Поскольку реально заданы не fj, а приближенные значения /у - fj + rjj, то в результате будет получено значение Если известны границы изменения значений rj, то можно оценить верхнюю грань погрешности Например, при условии \r]j\ г] имеем оценку \е\гА{х), Л(ж) = Х]Р,(ж). Величина Л может оказаться очень большой. Задача 1. Пусть /(ж) интерполируется по узлам Xj = -1-1-2-j = 1,..., п. Показать, что max Л(ж) > const -==. [-1,1] Vfi Задача 2. Доказать, что если узлы интерполяции совпадают с нулями многочлена Чебышева, то max Л(ж) const-inn. [-1,1] Если мы вычисляем значение /{ж) при жо < ж < Ж1 интерполяцией по узлам Жо, Ж1, то Ж1 - ж ж - Жо о(х) =---, Pi{x) = -X- § 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция Употребление интерполяционных многочленов оказывается полезным при решении такой задачи. Пусть требуется найти экстремум функции и точку экстремума. Составим таблицу значений функции с крупным шагом. Из рассмотрения этой таблицы можно увидеть место расположения экстремума. В предполагаемой области расположения экстремума приблизим функцию интерполяционным многочленом и найдем его точку экстремума Р,. В окрестности точки Pi составим таблицу значений функции с более мелким шагом. Из рассмотрения этой таблицы можно уточнить расположение экстремума и т.д. Степень интерполяционного многочлена беретга такой, чтобы точка экстремума определялась в явном виде. В одномерном случае берется интерполяционный многочлен Лагранжа или Бесселя второй степени или интерполяционный многочлен третьей степени. В многомерном случае, как правило, функция приближается многочленом второй степени. На практике, начиная с окрестности приближения Pi или следующего приближения Рг, уже не строят подробной таблицы значений функции, а ограничиваются минимальным числом точек в окрестности имеющегося приближения Рп, достаточным для построения интерполяционного многошена. Описанный способ является одтм из наиболее употребительньгх при отыскании экстремума функции многих переменных. В одномерном случае иногда после вычисления значения /(Р ) не вычисляют дополнительно никаких новых значений функции, а проводят интерполяцию, используя это значение и ранее вычисленные значения. Другой типичной задачей, где может быть применен аппарат интерполирования, является нахождение корня X уравнения f{x) = d. Путь решения этой задачи тот же самый. Составляем таблицу значений функции; определяем по ней грубо, где находится корень уравнения, затем составляем таблицу с более мелким шагом и т.д. Если вычисление функции относительно нетрудоемко, неразумно применять в процессе вычислений интерполяцию степени выше второй; в противном случае возникает задача нахождения корней многочленов, сама требующая достаточно большого числа арифметических операций. Таким образом, при линейной интерполяции погрешность, являющаяся следствием округления значений функции, не превосходит погрешности этих значений. Наличие большого числа формул интерполирования, применявшихся во времена ручного счета, отчасти объясняется именно поисками алгоритмов, порождающих минимальную вычислительную погрешность. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [23] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |