|
| |
|
Слаботочка Книги § 15. Численное дифференцирование Простейшие формулы численного дифференцирования получаются в результате дифференцирования интерполяционных формул. Пусть известны значения функции в точках Ж1,...,.т и требуется вычислить производную /()(жо). Построим интерполяционный многочлен Ln{x) и положим fxo) l\\xo). Точно так же мы можем заменять значения производных функций значениями производных других многочленов интерполяционного типа, например Бесселя. Другой способ построения формул численного дифференцирования, приводяпщй к тем же формулам, - это метод неопределенных коэффициентов. Наиболее употребителен он в многомерном случае, когда не всегда просто выписывается интерполяционный многочлен. Коэффициенты Ci формулы численного дифференцирования f\x)J2if{xi) (1) выбираются из условия, чтобы формула была точна для многочленов максимально высокой степени. Возьмем /(ж) - оуж и потребуем, что- Если вычисление функции трудоемко, может оказаться более выгодным пойти по пути увеличения степени интерполяционного многочлена. В случае, когда в окрестности у = d функция д{у), обратная к /(.т), является достаточно гладкой, более эффективным может оказаться применение обратной интерполяции. Обратной интерполяцией называется следующий алгоритм. Пусть известны значения функции у, = /(Л при г = 1,..., п. Эта информация эквивалентна тому, что известны значения Xi - g{yi) обратной функции. При условии допустидюсти интерполяции по переменной у можно заменить обратную функцию д{у) интерполяционным многочленом Lniy), удовлетворяющим условиям LniVi) = Хг, г = 1,----п, и положить X = д{с!) Lid). Такой способ особенно удобен, если нас интересзчот значения решений уравнений при достаточно большом числе значений d, или желательно получение явного выражения корня уравнения f(x) = d в зависимости от параметра d. Если интерполяция по узлам у1,..., уп не обеспечивает нужной точности, хюлагаем Xn+i = Ln{d), Уп+i = f{xn+i)- Далее, в зависимости от обстановки, целесообразно заменить g{d,) значением интepпoJшциoннoгo многочлена по всем узлам У1,-.-,Уп+\ или по некоторым из этих узлов, ближайшим к d. \j=0 Чтобы равенство выполнялось для любого многочлена степени /п, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при gj в правой и левой частях были равны. Поскольку {x)>=j{j-l)...U-k+l)aP-\ то получаем линейную систему уравнений i(j-l)...(i-/e-blK~ = 5;c,i, j = 0,...,m, (2) относительно неизвестных с,;. Если гп = п - 1, то число уравнений равно числу неизвестных. Определитель системы является определителем Вандермонда, поэтому отличен от нуля. Таким образом, всегда ьюжно построить формулу численного дифференцирования с п узлами, точную для многочленов степени п-1. При m = п - 1 и определенном расположении узлов иногда оказывается, что равенство (2) выполнено и для j = п. Как правило, это будет в случае, когда узлы расположены симметрично относительно точки xq. В приведенных ниже задачах для простоты взято Xq = 0. Пусть узлы Xi расположены симметрично относительно точки xq = О, т.е. Xi = -а; , x-z = -;c i и т.д. Если п нечетно, п = 21 + 1, то тогда xi+i = жо = 0. Задача 1. Пусть к четно (в частности, к может быть равно пулю и тогда речь идет об интерполировании). Доказать, что тогда Сп = cj, Cn-i = С2, и вообще Сп+1-к = Ск- Доказать, что вследствие такого свойства симметрии формула (1) автоматически является точной для любой нечетной функции. В частности, при п нечетном формула (1) будет точна для ж , поэтому она точна и для любого многочлена степени п (поскольку для любого многочлена степени п - 1 она уже оказалась точной по построению). Задача 2. Пусть к нечетно. Доказать, что тогда с = -cj, c - i = ~С2,..., и вообще Сп+\~к = -Cfc. Если п нечетно, п = 21 + 1, то при = -Ь 1 имеем q+i = -q+i и, следовательно, q+i = 0. Доказать, что вследствие такого свойства симметрии формула (1) автоматически является точной для любой четной функции. В частности, при п четном она будет точна для ж и поэтому будет точна для любого многочлена степени п. бы ДЛЯ такого многочлена соотношение (1) обратилось в равенство п / гп \ - 1 2 +3-2- Решая эту систему, получим С] = сз = 1, С2 = - 2 и соответствующую приближенную формулу /(>)-2/(0) Ч-Л-/0. ,3) Таким образом, при симметричном относительно xq расположении узлов, к четном, п нечетном или к нечетном, п четном формула (1) оказывается точной для многочленов на единицу большей степени. Свойства симметрии формул численного дифференцирования используются для уменьшения числа уравнений, которые нужно решить при построении формулы. Пусть требуется построить формулу численного дифференцирования fi0)cif(-h) + O2fm + csfih), точную для многочленов второй степени. Система уравнений (2) в данном случае имеет вид 0 = Ci+C2 + сз, 1 = С1(-/1) + сз(/г), 0 = cii-hf + c{hf, и, решая ее, получаем ci = - l/(2/i), С2 = 0, сз = \/{2h). Воспользуемся свойством симметрии и сразу возьмем формулу, для которой сз = -Cj, С2 = 0. Тогда первое и третье уравнения выполнены автоматически, а второе приобретает вид 1 = 2сз/г, т.е. сз = l/{2h). Таким образом, /(0) ~ ifih) - f{-h))/{2h). Задача 3. Пусть все точки Xj удалены от точки xq на расстояние /i -малая величина. Показать, что при гладкой /(.т) приближенная формула численного дифференцирования (1) имеет порядок погрешности 0{h), где т = I + \ - к, 1- максимальная степень многочленов, для которых точна эта формула. Построим приближенную формулу вычисления второй производной, использующую те же узлы: f-4a\ ~ ci/(-/0+-2/(0)+C3/W / К) ~ ,2 Из условий точности формулы для 1, ж, получаем систему уравнений О = Ci +C2+Oi, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [24] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |