|
| |
|
Слаботочка Книги i(/) = /(())- ....... = m - (/(0) + hfiO) + fiO) + у/ (+) -- (/(0) - hfiO) + / (0) - у/ (? ))) / {2h) = =/(o)-(/(o)4(/: ::)) = 6 2 Значение о. лежит- JigJKfly f {+) и / (-)- Поэтому по теореме Ролля найдется в пределах [ , такое, что а = / (). Таким образом, в итоге имеем i2i(/) = -y/ (0, -hh. Рассмотрим приближенную формулу (3). Предположим сначала, что нам неизвестно, точна ли она для любого многочлена третьей степени. Беря в разложении Тейлора три члена fi±h) = /(0) ± /1/(0) + ~Г(о) ± у/ (е±). Мы можем не сомневаться в том, что получили правильную формулу. Выражение в правой части есть /о/Л = Af-i/h, и, согласно (10.4), оно равно значению / (f)- многочлена второй степени вторая производная постоянна, поэтому fi/h = fiO = f {x) при любом X, в ча<;тности fi/Jr = / (0). Построенная формула оказывается точной для любого многочлена третьей степени. Если подставим в левую и правую части (3) функцию f{x) = х, то в обеих частях получим нуль. Оценим погрешность построенной выше приближенной формулы f{0)ifih) - f(-h))/{2h). В формуле Тейлора возьмем три члена разложения и остаточный член f{h) = /(0) + hfio) + у/ (0) + ~/ (+), о + h, /(-/,) = /(0) - hfio) + ГЩ - / (-), -h 0. Введем обозначение Rkif) = fHo) - с/(жг). Имеем fih) - fi-h) /)2 /7 + у/ (0)-у/ (е-) /- = -!?(Пе+)-/ (е-)). Если /(ж)- многочлен третьей степени, то f (x) = const, поэтому R2{f) = 0. Таким образом, из выражения для погрешности мы увидели, что формула (3) точна для всех многочленов третьей степени. По теореме Лагранжа r {U)-r {i-) = {i+-Uf\i)\ i € [-, +]. в то же время + е [О, h], G [-/г, 0], откуда следует О С+ - С- 2/i. Таким образом, С+ - 6- = 2/i, где О в 1, и Если в разложении Тейлора взять четыре слагаемых fi±h) = т ± (0) + у/ (о) ± / (0) + ~f4±), то получим выражение для погрешности Рассуждая, как и при выводе оценки погрешности для первой производной, имеем Приведем ряд формул численного дифференцирования функций, заданных на сетке с постоянным шагом Хп = xq + nh: /(-о) -h-i:)fUi2 Rdf)=&4)h-. Это так называемые односторонние формулы численного дифференцирования. В первой формуле (4) все узлы удовлетворяют условию Xk xq, получим /(0) + hfiO) + у/ (0) + у/ (+) - 2/(0) + /(0) - hfm остаточный член во второй Xk .го- Среди таких формул наиболее употребительны следующие: п=1, f{xo} =--, п = 1, -=--; Такие приближения производных часто используются при решении дифференциальных уравнений для аппроксимации граничных условий. Приведем примеры симметричных формул: Наиболее употребительны следуюпще частные случаи: (уже рассмотренный нами выше в других обозначениях); 1-2 ffr 4-)- ff 1 f3 \ -f{2h) + 27f{h)-27m) + f{~h) Формулы для второй производной записываются в виде 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 |